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相关试卷

1、已知 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 1 - 2 i$ ，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、二次函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$ ，且满足 $f (2 - x) = f (x - 2)$ ， $f (1) = - \frac{1}{4}$ ，函数 $g (x) = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若存在 $x_{0} \in [- 1, 1]$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ，且 $f (x) - g (x)$ 的所有零点构成的集合为 $M$ ，证明： $M \subseteq [- 1, 1]$ ．

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3、已知函数 $f (x) = a (e^{x} - 1) + e^{- x}$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性（不必给出证明）；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ，求 $e^{2 x_{1}} + e^{2 x_{2}}$ 的取值范围．

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4、如图，在扇形 $O P Q$ 中，半径 $O P = 1$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{3}$ ， $A$ 是扇形弧上的动点，过 $A$ 作 $O P$ 的平行线交 $O Q$ 于 $B$ ．记 $∠ A O P = α$ ．

(1)、求 $A B$ 的长（用 $α$ 表示）；

(2)、求 $△ O A B$ 面积的最大值，并求此时角 $α$ 的大小．

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5、已知函数 $f (x) = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} + \sin x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期与对称轴方程；

(2)、当 $x_{0} \in (0, π)$ 且 $f (x_{0}) = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f (x_{0} + \frac{π}{6})$ 的值．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{5}$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(- 5 \vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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7、计算下列各式的值：

(1)、 $\log_{3} 2 + \log_{3} 5 - 2 \log_{3} \sqrt{10} + 2^{\log_{2} 3}$ ；

(2)、 $\frac{1 - 64^{- x}}{1 + 8^{- x}} + (1 - 2^{x}) (1 + 2^{x} + 4^{x}) + {(8^{\frac{x}{2}} + 8^{- \frac{x}{2}})}^{2}$ ．

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8、 $\sin \frac{π}{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、设集合 $A = \{x | 3 x - 2 > 1\}$ ， $B = \{x | 2 m \leq x \leq m + 3\}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $A \cap B, A \cup B$ .

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求m的取值范围.

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10、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $D_{1} - P A_{1} A$ 的体积为定值 B、 $A P + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $A_{1} P //$ 平面 $A C D_{1}$ D、直线 $A_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角的取值范围是 $[0, \frac{π}{3}]$

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12、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $b = 6$ ， $a = 2 c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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13、设 $a$ 为正实数，函数 $f (x) = a e^{a x} - \sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且存在极值点 $x_{0}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $a$ 的取值范围．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $2 a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < \frac{5}{2}$ .

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $M (1, \frac{3}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过椭圆右焦点 $F_{2}$ 作两条互相垂直的弦AB与CD，求 $|A B| + |C D|$ 的取值范围.

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}, A B = A C = A A_{1} = 3$ .

(1)、证明： $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、若点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上， $C_{1} P : P C = 2 : 1$ ，求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B P$ 夹角的余弦值.

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17、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，且与直线 $2 x + 3 y - 10 = 0$ 相切于点 $P (2, 2)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $Q (- 3, - 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦 $A B$ 的长为4，求直线 $l$ 的方程.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - m x + 4$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{4}{3}$ ，求 $m$ 的值．

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19、设 $φ (a, b) = \sqrt{{(a - b)}^{2} + {(\ln a - \frac{b^{2}}{4})}^{2}} + \frac{b^{2}}{4} (a > 0, b \in R)$ ，当a，b变化时， $φ (a, b)$ 的最小值为.

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20、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 $x$ 轴，左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，且它们在第一象限的交点为 $P$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 是以 $P F_{1}$ 为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} - \frac{1}{e_{2}}$ .

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