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相关试卷

1、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $100π$ B、 $128π$ C、 $144π$ D、 $192π$

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2、在 $△ A B C$ 中，若 $a = \sqrt{2}, ∠ A = \frac{π}{6}, \cos C = - \frac{1}{3}$ ，则 $c =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{8}{3}$

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3、已知函数 $f (x) = x (a e^{x} - x - 2) (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 的极大值为 $f (- 1)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a \geq 1$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) - (a - 2) x + x^{2} - \ln x \geq 1$ .

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，且 $C$ 过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 为 $C$ 上与点 $A$ ， $B$ 均不重合的两个动点，且直线 $M A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k$ 和 $- 2 k$ .
（i）若 $O M // N B$ （ $O$ 为坐标原点），判断直线 $M A$ 和 $N B$ 的位置关系；
（ii）证明：直线 $M N$ 经过 $x$ 轴上的定点.

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 和 $△ A B C$ 均为等腰直角三角形， $A C = B C, P A = P C, M$ 为棱 $A B$ 的中点，且 $P M = P A$ ．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $M - P C - A$ 的正弦值．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + n$ .

(1)、证明： $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $b_{n} = \{\begin{array}{l} 2^{a_{n}}, n 为奇数 \\ a_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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7、甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示：
甲击中的环数
$9$
$7$
$10$
$8$
$10$
$8$
$9$
$10$
$10$
乙击中的环数
$10$
$10$
$8$
$9$
$9$
$9$
$6$
$10$
$9$

(1)、求甲前九次射击击中的环数的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；

(2)、用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率.

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8、记 $min \{a, b, c\}$ 为 $a$ ， $b$ ， $c$ 中最小的数.已知 $0 < x < y < z < 1$ ，且 $y \leq 2 x$ ，则 $min \{y - x, z - y, 1 - z\}$ 的最大值为.

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9、袋子中装有6个质地､大小均相同的球，其中有3个红球､2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为.

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10、已知非零向量 $\vec{a} = (x, - x)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $x =$ .

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11、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形， $D$ 是棱 $A B$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} D = \sqrt{5}$ ， $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ， $H$ 是棱 $C C_{1}$ 上的动点， $E$ ， $F$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，且 $E F = 1$ ，则（）

A、 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ B、 $A_{1} D ⊥ C D$ C、该三棱柱的外接球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ D、三棱锥 $D - E F H$ 的体积恒为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、已知函数 $f (x) = sin x cos (x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值与最小值之差为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ 中心对称 D、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 是偶函数

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13、已知复数 $z$ 满足 $z i^{7} + 2 \bar{z} = 3 + 3 i$ ，则（）

A、 $z = 3 + 3 i$ B、 $|z| = 3 \sqrt{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $z^{2}$ 是纯虚数

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14、若当 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin \frac{x}{2}$ 与 $y = 2 sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象有且仅有4个交点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{8}, \frac{13}{8})$ B、 $(\frac{9}{8}, \frac{13}{8}]$ C、 $[\frac{13}{8}, \frac{17}{8})$ D、 $(\frac{13}{8}, \frac{17}{8})$

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15、已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}} + 2 {log}_{5} 2$ ， $b = {log}_{2} 3$ ， $c = \frac{{(\sqrt{3})}^{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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16、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $- 3 \sqrt{15} cos B$ ，则 $A C =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $4$

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17、在 $△ A B C$ 中， $\vec{D C} = 3 \vec{B D}$ ， $P$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\vec{B P} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{a} x, x \geq 1 \\ - x^{2} + a x - 3, x < 1 \end{array}$ ，则“ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增”的充要条件是（）

A、 $2 \leq a \leq 3$ B、 $2 \leq a \leq 4$ C、 $1 < a \leq 4$ D、 $a \geq 2$

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19、已知圆柱的轴截面为正方形，表面积为 $6 π$ ，则其体积为（）

A、 $2 π$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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20、已知集合 $A = \{x |\log_{3} (1 - x) < 1\}$ ， $B = [- 1, 2)$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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甲击中的环数	$9$	$7$	$10$	$8$	$10$	$8$	$9$	$10$	$10$
乙击中的环数	$10$	$10$	$8$	$9$	$9$	$9$	$6$	$10$	$9$