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相关试卷

1、样本数据 $1, 3, 5, 1, 9, 5, 6, 11, 8$ 的中位数是（）

A、5 B、5.5 C、6 D、7

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2、材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式方程 $f (x) = 0$ 至少有一个复数根.
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元 $n (n \in N^{*})$ 次复系数多项式 $f (x)$ 在复数集中可以分解为 $n$ 个一次因式的乘积.进而，一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根（重根按重数计）.
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系.
设实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$
在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2}$ ，容易得到 $\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}} \\ x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}} \end{array}$
设实系数一一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0)$ ①
在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，可以得到，方程①可变形为 $a_{3} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) = 0$
展开得： $a_{3} x^{3} - a_{3} (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x^{2} + a_{3} (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) x - a_{3} x_{1} x_{2} x_{3} = 0$ ②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
$\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{a_{2}}{a_{3}} \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{a_{1}}{a_{3}} \\ x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{a_{0}}{a_{3}} \end{array}$
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：

(1)、对于方程 $3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 5 = 0$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的值；

(2)、如果实系数一元四次方程 $a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{4} \neq 0)$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3} ､ x_{4}$ ，试找到根与系数之间的关系；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{3} + b x + 2$ ，对于方程 $g (x) = k$ 在复数集 $C$ 内的根为 $x_{1} ､ x_{2} ､ x_{3}$ ，当 $k \in [0, 1]$ 时，求 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}$ 的最大值.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、设平面 $A B E$ 与直线 $P C$ 相交于点 $F$ ，求证： $E F$ $∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{3}, ∠ D A B = 60^{\circ}, P D = 2 \sqrt{6}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $P A D$ 所成角的大小.

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4、根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长 $41.9 %$ （用 $42 %$ 计算），恢复到2019年假日同期水平的 $104.6 %$ （用 $105 %$ 计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“ $M$ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下：
得分
$[80, 84)$
$[84, 88)$
$[88, 92)$
$[92, 96)$
$[96, 100]$
频率
0.10
0.20
0.40
0.20
0.10

(1)、求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01.

(2)、根据表格估计“ $M$ 红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(3)、陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为 $[92, 96) ､ [96, 100]$ 的游客中按 $1 : 2$ 的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为 $[92, 96)$ ､ $[96, 100]$ 的游客中各有一人评为“五星游客”的概率.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \sqrt{2}, c = \sqrt{5}, cos C = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $A D = \frac{1}{3} A B$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ 且 $A B = 3, A C = 2$ ，求 $|\vec{C D}|$ .

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7、豌豆是自花传粉､闭花受粉的植物，在自然条件下只能进行自交.踠豆叶子黄色（ $Y$ ）相对绿色（ $y$ ）为完全显性，即： $YY ､ Yy$ 都表现为黄色， $yy$ 表现为绿色.现有遗传因子组成为 $YY$ 和 $yy$ 的亲本植株杂交，子一代植株的遗传因子为 $Yy$ .令子一代植株自交，获得的子二代植株遗传因子组成有三种类型： $YY ､ Yy ､ yy$ .据此回答下列问题：
（1）通过子一代植株自交后，获得的子二代植株的叶子颜色是绿色的概率为.
（2）若随机选择一株子二代植株进行自交，获得的子三代植株的叶子颜色是绿色的概率为.

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $A, B, C$ ，若 $c = 2$ ，且 $\sin^{2} A - \sin A \sin B = \cos^{2} B - \cos^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为.

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9、有一个底面边长分别为 $3, 4, 5$ 的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即该球与三棱柱的各个面都相切.则该三棱柱的体积为.

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2, |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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11、若复数 $z$ 满足 $(1 + \sqrt{3} i) \cdot z = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为.

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动时（包括 $B ､ C_{1}$ 点），下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积不变 B、直线 $A D$ 一定与平面 $P A_{1} D_{1}$ 平行 C、直线 $C_{1} D_{1}$ 与 $P A_{1}$ 夹角余弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$ D、当 $C_{1} B = 3 B P$ 时，二面角 $P - A_{1} D_{1} - C_{1}$ 的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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13、 $△ A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 4, B = 30^{\circ}$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 有一个解 B、若 $△ A B C$ 有两个解，则 $a$ 有可能等于 $3 \sqrt{3}$ C、若 $△ A B C$ 为等腰三角形，则 $b = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 或4 D、若 $△ A B C$ 为直角三角形，则 $b$ 一定为2

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = 6, A C = 4$ ，且 $∠ B A C = \frac{π}{3} . D$ 是 $B C$ 边上一点，且 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- \frac{24 + 12 \sqrt{3}}{5}$ B、6 C、 $- \frac{36}{5}$ D、0

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，过点 $D_{1}, E, F$ 的平面截该正方体所得的截面是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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16、若样本数据： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数是62.3，方差为16，则对于样本数据： $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{n} - 1$ ，下列结论正确的是（）

A、平均数是124.6，方差为64 B、平均数是124.6，标准差为32 C、平均数是123.6，方差为32 D、平均数是123.6，标准差为8

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17、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ，且 $n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m \subset α, m$ $∥$ $β, α \cap β = n$ ，则 $m$ $∥$ $n$ C、若 $m \subset α, n \subset β, m$ $∥$ $β, n$ $∥$ $α$ ，则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $β, α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $n$

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18、关于事件 $A$ 和事件 $B$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互为互斥事件，则 $P (A) = 1 - P (B)$ B、若 $A \subseteq \bar{B}$ ，则 $A$ 与 $B$ 互斥 C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ D、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A B) = P (A) P (B)$

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19、已知平面向量 $\vec{A B} = (2, 6)$ ，且 $\vec{A B} = 2 \vec{C D}$ ，已知 $D$ 点坐标为 $(1, 2)$ ，则 $C$ 点坐标为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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20、周明同学本学期的8次数学测验成绩为： $65, 78, 63, 69, 87, 90, 86, 88$ .则这8次成绩的第80百分位数为（）

A、86 B、88 C、90 D、87.5

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得分	$[80, 84)$	$[84, 88)$	$[88, 92)$	$[92, 96)$	$[96, 100]$
频率	0.10	0.20	0.40	0.20	0.10