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相关试卷

1、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A B = 2, P B =$ $2 \sqrt{2}, A D = 2 B C = 2, A B ⊥ B C, A D$ $/ /$ $B C, M$ 为棱 $A P$ 的中点.

(1)、求证： $B M$ $/ /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $B C M$ 所成角的正弦值.

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2、厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{x}^{2}$ ，所有教师评分样本的半均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{y}^{2}$ ，总样本的平均数为 $\bar{z}$ ，方差为 $s^{2}$ ，若 $\bar{x} = \bar{y}, s^{2} = \frac{4}{5} s_{x} s_{y}$ ，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为．

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3、如图，函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于点D，O(坐标原点)为 $△ A B D$ 的重心(三条边中线的交点)，其中 $A (- π, 0)$ ，则 $△ A B D$ 的面积为.

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4、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $E, F, G$ 分别为棱 $A A_{1}, C C_{1}, B C$ 上的点， $A_{1} E = C F = C G = λ \in (0, 1)$ ，则（）

A、 $E G ⊥ G F$ B、平面 $E F G$ 经过棱 $A B$ 的中点 $H$ C、平面 $E F G$ 截该正方体，截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、点 $D$ 到平面 $E F G$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x + 2 {sin}^{2} \frac{ω x}{2} (ω > 0)$ 的图象在区间 $[0, π]$ 上有且仅有三个对称中心，则（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[2, \frac{10}{3})$ B、 $f (x)$ 的图象在区间 $[0, π]$ 上有2条或3条对称轴 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上的最大值不可能为3 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上为增函数

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6、一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 $x_{1}, x_{2}$ ，事件 $A =$ “ $x_{1} = 3$ ”，事件 $B =$ “ $x_{2} = 6$ ”，事件 $C =$ “ $x_{1} + x_{2} = 9$ ”，则（）

A、 $A B \subseteq C$ B、 $A C \subseteq B$ C、 $B, C$ 互斥 D、 $B, C$ 独立

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7、已知平面向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}, | {\vec{e}}_{1} | = | {\vec{e}}_{2} | = | {\vec{e}}_{3} | = 1, 〈 {\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2} 〉 = 60^{°}$ .若对区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 内的三个任意的实数 $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ ，都有 $| λ_{1} {\vec{e}}_{1} + λ_{2} {\vec{e}}_{2} + λ_{3} {\vec{e}}_{3} | ⩾ \frac{1}{2} | \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + {\vec{e}}_{3} |$ ，则向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{3}$ 夹角的最大值的余弦值为（）

A、 $- \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $- \frac{3 + \sqrt{5}}{6}$ C、 $- \frac{3 - \sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{3 - \sqrt{5}}{6}$

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中边长为2，点 $P$ 是上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一动点，若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积恰为 $\frac{41 π}{4}$ ，则此时点 $P$ 构成的图形面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{25}{16} π$ C、 $\frac{41}{16} π$ D、 $2 π$

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1}$ ， AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线 $B_{1} B$ 和平面 $C D B_{1}$ 所成角的正切值为( )

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，则“存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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11、在侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱锥 $S - A B C$ 中， $∠ A S B = ∠ B S C = ∠ C S A = 40^{\circ}$ ，过 $A$ 作截面 $A E F$ ，则截面的最小周长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、6 D、10

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12、设 $△ A B C$ 的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{3}$ ，且不等式 $x^{2} - (3 + \sqrt{3}) x + 3 \sqrt{3} < 0$ 的解集为 ${x | b < x < a}$ ，则 $B = ($ $)$

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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13、有一组互不相等的样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ ，平均数为 $\bar{x}$ .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{5}$ ，平均数为 $\bar{y}$ ，则下列说法错误的是（）

A、新数据的极差可能等于原数据的极差 B、新数据的中位数不可能等于原数据的中位数 C、若 $\bar{x} = \bar{y}$ ，则新数据的方差一定大于原数据方差 D、若 $\bar{x} = \bar{y}$ ，则新数据的 $40 %$ 分位数一定大于原数据的 $40 %$ 分位数

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14、已知复数 $z = 2 - i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z - \bar{z}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + i$ B、 $\frac{1}{2} - i$ C、 $\frac{1}{2} + i$ D、 $- \frac{1}{2} - i$

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15、如图，七面体 $A B C D E F$ 中，菱形 $A B C D$ 所在平面与矩形 $A C E F$ 交于 $A C$ ，平面 $C D F$ 与平面 $A B F$ 交于直线 $l$ ．

(1)、求证： $A B / / l$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当 $\frac{B D}{A F}$ 为何值时，平面 $D E F ⊥$ 平面 $B E F$ ？并证明你的结论．
条件①： $平面 A B C D ⊥ 平面 A C E F$ ；
条件②： $C E ⊥ A B$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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16、在△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边为 $a, b, c$ ， △ $A B C$ 的面积为S，且 $S = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c - b = 2 b cos A$ ，试判断△ $A B C$ 的形状，并说明理由．

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17、某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
选考情况
第1门
第2门
第3门
第4门
第5门
第6门
物理
化学
生物
历史
地理
政治
高一选科人数
80
70
35
20
35
60
高二选科人数
60
45
55
40
40
60
高三选科人数
50
40
60
40
40
70

(1)、已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；

(2)、现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；

(3)、假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为 $P_{k} (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，当 $P_{k}$ 取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）

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18、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点．求证：

(1)、 $B D ∥$ 平面 $C_{1} E F$ ；

(2)、 $E F ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $B_{1} - C_{1} E F$ 的体积．

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19、在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求：

(1)、两人都通过体质健康测试的概率；

(2)、恰有一人通过体质健康测试的概率；

(3)、至少有一人通过体质健康测试的概率．

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20、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{C D} = - \vec{a}$ ，求证： $A$ ， $C$ ， $D$ 三点共线．

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选考情况	第1门	第2门	第3门	第4门	第5门	第6门
选考情况	物理	化学	生物	历史	地理	政治
高一选科人数	80	70	35	20	35	60
高二选科人数	60	45	55	40	40	60
高三选科人数	50	40	60	40	40	70