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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} = 5$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{14} = b_{4}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 1, x \leq 0 \\ \ln x - (a - 2) x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 在定义域上单调递增；
②对任意 $a > 0$ ， $f (x)$ 存在极值；
③对任意 $a > 2$ ， $f (x)$ 存在最值；
④设 $f (x)$ 有 $n$ 个零点，则 $n$ 的取值构成的集合是 ${1, 2, 3, 4}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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3、设无穷数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = - n^{2} + λ n + 3 (λ > 2)$ .若 ${a_{n}}$ 是单调递减数列，则 $λ$ 的一个取值为.

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4、为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答 $20$ 个问题，记分规则是：每答对一题得 $5$ 分，答错一题扣 $3$ 分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取 $1$ 名，设其答对的问题数量为 $X$ ，最后得分为 $Y$ 分．当 $X = 10$ 时， $Y$ 的值为；若 $P (Y \geq 60) = 0.7$ ，则 $P (X < 15) =$ .

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5、若 ${(x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{3} =$ .

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6、若 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (4) =$ .

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7、已知数列 $A$ ： $1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16, \dots$ ，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$ ，依此类推. $S_{n}$ 是数列 $A$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2^{t} (t \in N^{*})$ ，则 $n$ 的值可以等于（）

A、 $16$ B、 $95$ C、 $189$ D、 $330$

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8、设随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（）
$X$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$P$
$p_{1}$
$p_{2}$
$p_{3}$
$p_{4}$
$p_{5}$
$p_{6}$

A、 $P (X \geq 4) = 1 - P (X \leq 3)$ B、随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ 可以等于 $3.5$ C、当 $p_{n} = \frac{1}{2^{n}} (n = 1, 2, 3, 4, 5)$ 时， $p_{6} = \frac{1}{2^{5}}$ D、数列 $\{p_{n}\}$ 的通项公式可以为 $p_{n} = \frac{1}{n (n + 1)} (n = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$

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9、为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高 $x$
174
170
173
169
182
172
180
172
168
166
182
173
164
180
儿子身高 $y$
176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
父亲身高的平均数记为 $\bar{x}$ ，儿子身高的平均数记为 $\bar{y}$ ，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.839 x + 28.957$ .则下列结论中正确的是（）

A、 $y$ 与 $x$ 正相关，且相关系数为 $0.839$ B、点 $(\bar{x}, \bar{y})$ 不在回归直线上 C、 $x$ 每增大一个单位， $\hat{y}$ 增大 $0.839$ 个单位 D、当 $x = 176$ 时， $\hat{y} \approx 177$ .所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm

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10、某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是 $\frac{4}{15}$ ，刮风的概率为 $\frac{2}{15}$ ，既刮风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$ . 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（）

A、 $\frac{8}{225}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11、在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（）

A、 $15$ B、 $60$ C、 $6$ D、 $12$

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12、要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（）

A、 $72$ 种 B、 $120$ 种 C、 $96$ 种 D、 $60$ 种

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13、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = - 3$ ， $S_{5} = - 10$ ，使 $S_{n}$ 最小的 $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、4或5

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14、如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ ，则 $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ 中最大的是（）

A、 $r_{1}$ B、 $r_{2}$ C、 $r_{3}$ D、 $r_{4}$

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15、函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (1) = f^{'} (3)$ C、 $f^{'} (1) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) + f^{'} (3) > 0$

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16、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = - 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $4$ C、 $- 3$ D、 $- 8$

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17、在由 $n \times n (n \geq 2)$ 个实数组成的 $n$ 行 $n$ 列的数表中， $a_{i j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的数（如图是一个3行3列的数表， $a_{11} = 0, a_{23} = 9$ ），记 $r_{i} = a_{i 1} + a_{i 2} + \dots + a_{i n} (1 \leq i \leq n), c_{j} = a_{1 j} + a_{2 j} + \dots + a_{n j} (1 \leq j \leq n)$ .若满足 $a_{i j} \in \{- 1, 0, 1\} (1 \leq i, j \leq n)$ ，且 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ 两两不等，则称此表为“ $n$ 阶 $H$ 表”.记 $H_{n} = \{r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}, c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}\}$ .
0
3
2
1
2
9
3
4
1

(1)、请写出一个“2阶 $H$ 表”；

(2)、对任意一个“ $n$ 阶 $H$ 表”，若整数 $λ \in [- n, n]$ ，且 $λ \notin H_{n}$ ，求证： $λ$ 为偶数；

(3)、求证：不存在“5阶 $H$ 表”.

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B P, B C$ ∥ $A D, ∠ P A B = 90^{\circ}, P A = A B = 2, A D = 3, B C = m, E$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $C - A E - D$ 的余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若 $m = 2$ ，在线段 $E D$ 上是否存在一点 $F$ ，使得 $B F ⊥ C E$ ？若存在，求 $\frac{|D F|}{|F E|}$ 的值；若不存在，说明理由.

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19、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} ω x + 2 sin ω x cos ω x - {sin}^{2} ω x (0 < ω < 4)$ ，且_____．
从以下 $① ② ③$ 三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题： $①$ 过点 $(\frac{π}{8}, \sqrt{2}); ②$ 函数 $f (x)$ 图象与直线 $y + \sqrt{2} = 0$ 的两个相邻交点之间的距离为 $π; ③$ 函数 $f (x)$ 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则是否存在实数 $m$ ，使得对于任意 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，存在 $x_{2} \in [0, \frac{π}{2}]$ ， $m = g (x_{2}) - f (x_{1})$ 成立 $?$ 若存在，求实数 $m$ 的取值范围 $;$ 若不存在，请说明理由．

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20、在 $△ A B C$ 中， $b sin A + a cos (A + C) = 0$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $b = \sqrt{2}$ ；条件②： $A B$ 边上的高为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ；条件③： $cos A = - \frac{1}{2}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$p_{4}$	$p_{5}$	$p_{6}$

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
父亲身高 $x$	174	170	173	169	182	172	180	172	168	166	182	173	164	180
儿子身高 $y$	176	176	170	170	185	176	178	174	170	168	178	172	165	182