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相关试卷

1、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $E$ ， $F$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是．
①直线 $D_{1} D$ 与直线 $A F$ 相交；
②当 $0 < C F < \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为四边形；
③当 $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点时，平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ ；
④当 $C F = \frac{3}{4}$ 时，截面 $S$ 与 $A_{1} D_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 分别交于 $M, N$ ，则 $M N = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ．

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2、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $D C$ 边上一点，且 $D E = 2 E C$ ，点 $F$ 为 $A E$ 的延长线上一点，写出可以使得 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ 成立的 $λ$ ， $μ$ 的一组数据 $(λ, μ)$ 为．

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3、已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边，若 $b = 5$ ， $c = 4$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 10$ ，则 $A$ = ， $△ A B C$ 的面积为．

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4、从写有数字 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是．

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5、设复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的模为．

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6、达 $\cdot$ 芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{7}{12}$

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7、一个长为 $2 \sqrt{2}$ ，宽为 $2$ 的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，依次沿 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ ， $D B$ 折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨默维尔四面体”，如下图，则这个四面体的体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $1$ D、 $2$

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8、一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A、2个小球恰有一个红球 B、2个小球至多有1个红球 C、2个小球中没有绿球 D、2个小球至少有1个红球

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9、在下列关于直线 $l 、 m$ 与平面 $α 、 β$ 的命题中，真命题是（）

A、若 $l \subset β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ β$ ，且 $α / / β$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $l / / α$

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11、已知圆锥的底面半径是1，高为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥的侧面积是（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{3} π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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12、在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A = \frac{π}{6}, a = 1, b = \sqrt{2}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{b}$ 可以是（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(1, - 2)$

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14、样本数据3，5，7，2，10，2的中位数是（）

A、7 B、6 C、4 D、2

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15、复平面内点 $A (1, - 2)$ 所对应复数的虚部为（）

A、1 B、 $- 2$ C、 $i$ D、 $- 2 i$

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16、若数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} - a_{n} > 1$ ，则称 ${a_{n}}$ 是“ $P$ 数列”．

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ， $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，判断 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 是否是“ $P$ 数列”；

(2)、已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = 2$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 ${a_{n}}$ 是“ $P$ 数列”，且 $S_{n} < 3 n^{2} + 2 n$ 恒成立，求公差 $d$ 的取值范围；

(3)、已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正整数的等比数列， $a_{1} = 1$ ，记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3}, c_{n} = \frac{a_{n + 1}}{n}$ ，若 ${a_{n}}$ 是“ $P$ 数列”， ${b_{n}}$ 不是“ $P$ 数列”， ${c_{n}}$ 是“ $P$ 数列”，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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17、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若对于任意的 $x \in [2, + \infty)$ ，有 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18、人工智能（简称 $A I$ ）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的 $A I$ 软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款 $A I$ 软件的使用情况，从该地区随机抽取了 $120$ 名大学生，统计他们最喜爱使用的 $A I$ 软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数
$40$
$20$
$40$
$20$
假设大学生对 $A I$ 软件的喜爱倾向互不影响.

(1)、从该地区的大学生中随机抽取 $1$ 人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；

(2)、采用分层抽样的方式先从 $120$ 名大学生中随机抽取 $6$ 人，再从这 $6$ 人中随机抽取 $2$ 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从该地区的大学生中随机抽取 $2$ 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 $Y$ ， $Y$ 的方差记作 $D (Y)$ ，（2）中 $X$ 的方差记作 $D (X)$ ，比较 $D (X)$ 与 $D (Y)$ 的大小.
（结论不要求证明）

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19、袋子中有 $5$ 个大小和质地相同的小球，其中 $3$ 个白球， $2$ 个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.

(1)、求第一次摸到白球的概率；

(2)、求第二次摸到白球的概率；

(3)、求两次摸到的小球颜色不同的概率.

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20、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + a$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $f (x)$ 的极小值为 $- 10$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的最大值．

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软件功能	视频创作	图像修复	语言翻译	智绘设计
大学生人数	$40$	$20$	$40$	$20$