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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B D C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $P D^{2} - P B^{2} = 19$ ， $P B = P A$ ， $A B = A C = 6$ ， $C D = 5$ ， $B D = \sqrt{85}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E P ⊥$ 平面 $A B D C$ ；

(2)、当直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ 时，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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2、《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：

(1)、求该项指标的第30百分位数；

(2)、若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值 $x$ ，将该指标小于 $x$ 的汽车认为符合节能要求，已知 $x \in [90, 100]$ ，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率 $f (x)$ .

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3、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + \vec{b}$ .

(1)、当 $λ = 1$ ，求 $|\vec{c}|$ ；

(2)、当 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ 时，求 $λ$ 的值.

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4、已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ P B$ 交 $P B$ 于 $D$ ， $A E ⊥ P C$ 交 $P C$ 于 $E$ ， $P A = A B = 1$ ，记三棱锥 $P - A D E$ ，四棱锥 $A - D E C B$ 的外接球的表面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当三棱锥 $P - A D E$ 体积最大时，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 分别对应边 $a, b, c$ ， $∠ A = \frac{5 π}{6}$ ， $a = 1$ ，已知函数 $f (b, c) = b + t c$ ，若 $f (b, c)$ 存在最大值，则正数 $t$ 的取值范围是.

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6、已知点 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，则点 $O$ 的轨迹必通过 $△ A B C$ 的.（填：内心，外心，垂心，重心）

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3, 2)$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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8、如图棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是正方体表面上一动点，点 $Q$ 为 $△ A C E$ 内（不含边界）的一点，若 $B P //$ 平面 $A C E$ ，则下列说法正确的是（）

A、平面 $A C E$ 与线段 $C_{1} D_{1}$ 的交点为线段 $C_{1} D_{1}$ 的中点 B、 $P$ 到平面 $A C E$ 的距离为 $\frac{4}{3}$ C、三棱锥 $Q - A C P$ 体积存在最大值 D、直线 $D P$ 与直线 $A Q$ 所成角的余弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{17}}{9}$

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9、下列命题正确的是（）

A、对于事件 $A$ ， $B$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ B、若三个事件 $A$ ， $B$ ， $C$ 两两互斥，则 $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$ C、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件 $A$ ， $B$ 相互独立与互斥不会同时发生 D、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{3}{5}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{9}{10}$

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10、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{2} = \bar{z_{1}}$ B、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $|z - z_{1}| = |z - z_{2}|$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在一条直线上

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11、下面给出的关系式中，不正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Rightarrow \vec{b} = \vec{c}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq \vec{a} \cdot \vec{b}$

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12、已知点 $P$ 是边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的动点，若直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角大小为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} (4 + π)$ D、 $2 \sqrt{2} + \frac{π}{2}$

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13、有一座6层大楼，3人从大楼第一层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这3人离开电梯的层数之和为10的概率是（）

A、 $\frac{4}{125}$ B、 $\frac{3}{25}$ C、 $\frac{24}{125}$ D、 $\frac{12}{25}$

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14、某校组织高一1班，2班开展数学竞赛，1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ .记两个班总成绩的方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $s^{2} \geq \frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}$ B、 $s^{2} \geq \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$ C、 $s^{2} = \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$ D、 $s^{2} \leq \frac{4 s_{1}^{2} + 3 s_{2}^{2}}{7}$

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15、大善塔，位于绍兴市区城市广场东南隅，是绍兴城地标性建筑，其塔顶部可以近似地看成一个正六棱锥.假设该六棱锥的侧面和底面的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则该六棱锥的高和底面边长之比为（）

A、 $2 : 3$ B、 $1 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $3 : 1$

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16、已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 3$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $24 \sqrt{2}$ D、 $36 \sqrt{2}$

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17、点 $A$ 是直线 $P Q$ 外一点，点 $M$ 在直线 $P Q$ 上（点 $M$ 与 $P, Q$ 两点均不重合），我们称如下操作为“由 $A$ 点对 $P Q$ 施以视角运算”：若点 $M$ 在线段 $P Q$ 上，记 $(P, Q; M) = \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ ；若点 $M$ 在线段 $P Q$ 外，记 $(P, Q; M) = - \frac{|A P| sin ∠ P A M}{|A Q| sin ∠ M A Q}$ .

(1)、若 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 的延长线上，且 $A B = 2 B M = 2$ ，由 $A_{1}$ 对 $A B$ 施以视角运算，求 $(A, B; M)$ 的值；

(2)、若 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B$ 上，且 $A B = 2$ ，由 $A_{1}$ 对 $A B$ 施以视角运算，得到 $(A, B; M) = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{A M}{M B}$ 的值；

(3)、若 $M_{1}, M_{2}, M_{3}, \dots, M_{n - 1}$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 的 $n (n \geq 2)$ 等分点，由 $A$ 对 $B C$ 施以视角运算，证明： $(B, C; M_{k}) \times (B, C; M_{n - k}) = 1 (k = 1, 2, 3, \dots, n - 1)$ .

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18、如图，已知四边形 $A B C D$ 为菱形，四边形 $A C E F$ 为平行四边形，且 $A B = 6$ ， $∠ B A D = ∠ B A F = ∠ D A F = 60 °$ .

(1)、证明：直线 $B D ⊥$ 平面 $A C E F$ ；

(2)、设平面 $B E F \cap$ 平面 $A B C D = l$ ，且二面角 $E - l - D$ 的平面角为 $θ$ ， $\tan θ = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，设 $G$ 为线段 $A F$ 的中点，求 $D G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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19、袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a = b cos C - \frac{\sqrt{3}}{3} b sin C$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，当线段 $A D$ 的长最短时，求 $A C$ 的长.

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