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相关试卷

1、已知θ是第一象限角， $cos (θ - \frac{π}{3}) = \frac{40}{41}$ ，则 $cos (\frac{5}{6} π - θ) =$ （）

A、 $\pm \frac{9}{41}$ B、 $\pm \frac{40}{41}$ C、 $\frac{9}{41}$ D、 $\frac{40}{41}$

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2、若 $\sin θ = 2 \cos θ$ ，则 $\sin θ (\sin θ - \cos θ) =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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3、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4、已知扇形的周长为 $60 cm$ ，则当扇形面积最大时，扇形的圆心角 $α$ 的弧度数为（）

A、15 B、2 C、30 D、4

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5、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则“ $a > 1$ ， $b > 1$ ”是“ $a + b > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 $\{x | x > - 2\}$ C、 ${x | - 2 < x < 3}$ D、 ${x | x < 3}$

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7、如图，已知 $△$ AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B^'C，如图，将 $△$ B'DH沿边DH翻折至 $△$ BDH.

(1)、在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求 $\frac{B F}{F C}$ 的值；若不存在，请说明理由；

(2)、若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求三棱锥B-DCH的体积.

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8、如图，在空间四边形 $A B C D$ 中，已知 $G$ 为 $△ B C D$ 的重心， $E, F, H$ 分别为边 $C D, A D$ 和 $B C$ 的中点，化简下列各式：

(1)、 $\vec{A G} + \frac{1}{3} \vec{B E} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} - \vec{A D})$ ；

(3)、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ ．

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9、 $f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(2 - x)}^{2} + {(y + 4)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(2 + y)}^{2}}$ ，其中 $- 1 \leq x \leq 2$ ， $- 4 \leq y \leq 0$ ，则二元函数 $f (x, y)$ 的最小值为

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10、若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为空间两两夹角都是 $60^{\circ}$ 的三个单位向量，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}| =$ ．

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D_{1} D$ 与直线AF垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D、点C和点G到平面AEF的距离相等

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12、已知点 $A (2, 2, 3) ， B (1, 0, 1)$ ，向量 $\vec{A C} = (1, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{B C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{4}{3}, - \frac{8}{3}, - \frac{8}{3})$ B、 $(- 4, - 8, - 8)$ C、 $(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{8}{3})$ D、 $(4, 8, 8)$

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13、直线 $(2 a - 1) x + y - 2 = 0$ 与直线 $x - a y + 2 = 0$ 互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(\frac{2}{5}, \frac{6}{5})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{6}{5})$

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14、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a},$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{D B}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D_{1}}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{7}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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15、设 $m$ 为正整数，若集合 $Q = \{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}\}$ 满足如下三个条件，则称 $Q$ 具有性质 $S (m)$ ：
① $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 都是元素个数为 $m$ 的数集；
②对任意 $i, j (1 \leq i < j \leq n)$ ，集合 $A_{i} \cap A_{j}$ 的元素个数均为1；
③ $A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} = \emptyset$ .

(1)、若集合 $Q = \{A, \{1, 2, 3\}, \{1, 4, 7\}, \{1, 5, 6\}, \{2, 5, 7\}, \{3, 4, 5\}, \{3, 6, 7\}\}$ 具有性质 $S (3)$ ，写出集合 $A$ ；

(2)、若集合 $Q = \{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{7}\}$ 具有性质 $S (3)$ ，判断是否存在 $i, j, k \in \{2, 3, \dots, 7\} (i < j < k)$ 使得 $A_{1} \cap A_{i} = A_{1} \cap A_{j} = A_{1} \cap A_{k}$ ，并说明理由；

(3)、若集合 $Q$ 具有性质 $S (4)$ ，求 $n$ 的最大值.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{2 + cos x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的最大值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{π} x$ ，求证： $g (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且只有一个极大值点；

(3)、若 $x \in (0, π)$ ，写出 $\frac{x - f (x)}{x + f (x)}$ 的取值范围.（只需写出结论）

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17、已知函数 $f (x) = 2 ln x - (2 a + 1) x + \frac{1}{2} a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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18、在 $△ A B C$ 中， $a cos C + \sqrt{3} a sin C = b$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 在 $A B$ 边上，且 $B C ⊥ C D, A D = \sqrt{3}$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在，并求 $A B$ 的长.
条件①： $C D = 1$ ；
条件②： $cos B = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ；
条件③： $△ A C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ B A C$ 与 $△ A D C$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A D C = 90 °$ .

(1)、若 $E$ 为 $P B$ 的中点，求证： $A E$ $/ /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A C = 2$ .
（i）求平面 $P A B$ 与平面 $P D C$ 夹角的余弦值；
（ii）求点 $A$ 到平面 $P D C$ 的距离.

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20、已知函数 $f (x) = cos x (sin x + cos x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期，并求 $y = f (x)$ 的图象的对称轴方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, a)$ 上无最小值，求实数 $a$ 的取值范围.

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