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相关试卷

1、已知函数 $f_{n} (x) = \ln x - \frac{n}{x} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ），且 $f_{n} (x)$ 有唯一零点 $a_{n}$ .

(1)、证明： $f_{1} (x) \geq 2 - \frac{2}{x}$ ；

(2)、证明： $2 \ln \frac{n + 2}{2} < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq 2 \sqrt{n} - 1$ ；

(3)、判断数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由.

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2、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的虚轴长为2，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求双曲线E的标准方程：

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点 $C (2, \sqrt{3})$ ，直线BC与直线 $x = 3$ 交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为 $△ M B C$ ， $△ A B N$ 的面积，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $△ P A B$ 是边长为2的等边三角形，F为BC的中点.

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、若直线AP与DF的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

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4、某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：
等级
不及格
及格
良
优
分数
1
2
3
4
人数
3
9
5
3

(1)、若从样本中随机选取2位学生，求所选的2位学生分数不同的概率；

(2)、用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n位学生，记所选学生分数不小于3的人数为X.
（ⅰ）若 $n = 3$ ，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）若 $n = 20$ ，当k为何值时， $P (X = k)$ 最大？

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 6 b c sin A$ .

(1)、求 $sin A$ 的值；

(2)、若 $C = \frac{π}{4}$ ， $a = 3$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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6、已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的 $\frac{1}{9}$ ，所有侧棱长均为 $\sqrt{6}$ .当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为.

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7、已知直线 $k x + y + 1 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 交于A，B两点，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ，则 $k =$ .

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8、已知函数 $f (x) = x (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则 $a =$ .

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9、已知平面内动点 $P (x, y)$ 到定点 $F (0, 2)$ 的距离与到定直线l： $y = 4$ 的距离之和等于6，其轨迹为曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $y \leq 4$ ，则点 $P$ 的轨迹是以 $F (0, 2)$ 为焦点的抛物线的一部分 B、 $P$ 点横坐标的取值范围是 $[- 4 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$ C、若过点 $F$ 的直线与曲线 $C$ 的 $y \geq 4$ 部分图象和 $y < 4$ 部分图象分别交于 $A, D$ ，则 $|A F| = 2 |D F|$ D、对给定的点 $T (- 2, t)$ （ $t \in R$ ），用 $m (t)$ 表示 $|P F| + |P T|$ 的最小值，则 $m (t)$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $|f (x)| \leq 3 |x|$

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11、下列说法中，正确的有（）

A、具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 2) = 0.3$ C、数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D、若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数

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12、如果数列 $\{a_{n}\}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} + a_{n} > 2 a_{n + 1}$ 成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”.若数列 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”，且任意项 $a_{n} \in Z$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{k} = 2025$ ，则正整数k的最大值为（）

A、62 B、63 C、64 D、65

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13、若函数 $f (x) = a e^{x} - x^{3}$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递增，则实数a的最小值为（）

A、 $\frac{3}{e}$ B、 $\frac{12}{e^{3}}$ C、 $\frac{12}{e^{2}}$ D、 $\frac{27}{e^{3}}$

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14、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $F (- 1, 0)$ ，若直线 $x + λ y - 1 = 0$ （ $λ \in R$ ）与椭圆E交于A，B两点，则 $△ A B F$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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15、 ${(1 - 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项系数是（）

A、 $- 280$ B、280 C、 $- 560$ D、560

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16、已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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17、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 15$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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18、若复数z满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ， $B = \{x |x \geq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $(2, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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20、为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $- 1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $- 1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_{i} (i = 0, 1, \dots, 8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0} = 0$ ， $p_{8} = 1$ ， $p_{i} = a p_{i - 1} + b p_{i} + c p_{i + 1}$ $(i = 1, 2, \dots, 7)$ ，其中 $a = P (X = - 1)$ ， $b = P (X = 0)$ ， $c = P (X = 1)$ ．假设 $α = 0.5$ ， $β = 0.8$ ．
(i)证明： ${p_{i + 1} - p_{i}}$ $(i = 0, 1, 2, \dots, 7)$ 为等比数列；
(ii)求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性．

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等级	不及格	及格	良	优
分数	1	2	3	4
人数	3	9	5	3