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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{2 m - 3} = 1$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $m =$ ．

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2、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动点P在直线 $l : x + y = 0$ 上的射影为点Q，且 $\sqrt{2} | O P | | P Q | = 1$ ．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）

A、C关于直线l对称 B、C上存在点 $M (x_{0}, y_{0})$ ，使得 $x_{0}^{2025} + y_{0}^{2025} = 1$ C、 $| O P |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 $\frac{1}{2} < S < \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知锐角三角形 $A B C$ 的内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，则（）

A、 $\sin [\cos (A - B)] > \sin (\cos C)$ B、 $\tan (\sin A) < \tan (\cos B)$ C、 $\sin (\sin A) > \sin (\tan A)$ D、 $\cos (\cos A) > \cos (\sin B)$

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4、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 - i$ ，则下列复数为纯虚数的是（）

A、 $z_{1} z_{2}$ B、 $z_{1} - z_{2}$ C、 $z_{1}^{2}$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，以顶点A为球心， $\sqrt{7}$ 为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（）

A、 $3 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6、若函数 $f (x) = 3 \sin x + 2 \cos x$ 在 $[0, α]$ 上单调递增，则当 $α$ 取得最大值时， $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l : x - y - 3 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 中点的横坐标为 $7$ ，则 $p =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ，则不等式 $f (2 x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 1)$

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9、某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (50, 4)$ ，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过 $52g$ 的草莓有（）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

A、228个 B、456个 C、1587个 D、3174个

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2), \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 3 x + 1$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = 3 x$

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12、已知集合 $A = {x ∣ x + 2 > 0}, B = \{x ∣ x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 4, + \infty)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- \infty, - 2)$

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13、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在直线 $D C$ 和 $B C$ 上，且 $\vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ，连接 $B D$ 交 $A F$ 于点 $P$ ．

(1)、设 $\vec{A P} = t \vec{A F}$ ，用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A F}$ ，并求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $A E ⊥ A F$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $|\vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{A F}|$ 的取值范围．

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14、已知向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{n}$ 与向量 $\overset{⇀}{m}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，且 $\overset{⇀}{m} • \overset{⇀}{n} = - 1$ .
（1）求向量 $\overset{⇀}{n}$ ；
（2）设向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 0)$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (\cos x, \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}))$ ，其中 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，若 $\overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{a} = 0$ ，试求 $|\overset{⇀}{n} + \overset{⇀}{b}|$ 的取值范围.

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15、在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是BC，CC₁ ， C₁D₁ ， A₁A的中点．求证：
（1）BF $//$ HD₁；
（2）EG $//$ 平面BB₁D₁D．

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = A D = 1, C B = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ ，点 $P$ 在边 $C D$ 上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最小值为.

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17、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 2$ ， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $M$ 为线段 $A A_{1}$ 上的点.则 $|M N| + |M B|$ 的最小值为

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $A = 60 °$ ， $a = 2$ ， $b = x$ ，若三角形有两解，则实数 $x$ 的取值范围是.

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19、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B = (a + c) sin A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $B = 2 A$ B、 $B$ 的取值范围为 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ C、 $\frac{1}{tan A} - \frac{1}{tan B} + 2 sin B$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b - a}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}, \sqrt{2} - 1)$

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则以下四个结论中，正确的有（）

A、直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是相交直线 B、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 C、 $A M$ 与 $B N$ 平行 D、直线 $A_{1} M$ 与 $B N$ 共面

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