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相关试卷

1、圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则圆台的体积为（）

A、 $7 \sqrt{3} π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{25}{3} \sqrt{3} π$ D、 $\frac{26}{3} \sqrt{3} π$

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2、已知向量 $\vec{a} = (x, x - 6)$ ， $\vec{b} = (1, x - 4)$ ，则 $x = 2$ 是 $\vec{a} // \vec{b}$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知全集 $U = \{x| - 2 < x < 4\}$ ，集合 $A = \{x| |x - 1| \leq 1\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- 2, 0] \cup [2, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, 4)$

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4、已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) \cdot z = 5$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、 $i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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5、若 $\sqrt{3} sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 \sqrt{3} sin 2 (x + φ)$ ，则 $φ$ 的一个可能的值是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，则“ $\forall m$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：
知识卡片1：
一般地，如果两数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象连续不断，用分点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{i - 1} < x_{i} < \dots < x_{n} = b$ 将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，在每个小区间 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 上任取一点 $ξ_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，n），作和式 $\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x$ $= \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} f (ξ_{i})$ （其中 $Δ x$ 为小区间长度），当 $n \to \infty$ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，即 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{b - a}{n} f (ξ_{i})$ .这里， $a$ 与 $b$ 分别叫做积分下限与积分上限，区间 $[a, b]$ 叫做积分区间，函数 $f (x)$ 叫做被积函数，x叫做积分变量， $f (x) d x$ 叫做被积式.从几何上看，如果在区间 $[a, b]$ 上函数 $f (x)$ 的图象连续不断且恒有 $f (x) \geq 0$ ，那么定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 表示由直线 $x = a$ ， $x = b$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = f (x)$ 所围成的区域（称为曲边梯形）的面积.
知识卡片2：
一般地，如果 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象连续不断，并且 $F^{'} (x) = f (x)$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x = {F (x)|}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.例如，如图所示，对于函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ），从几何上看，定积分 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x$ 的值为由直线 $x = a$ ， $x = b$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的区域即曲边梯形 $A B Q P$ 的面积，根据微积分基本定理可得 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = {\ln x|}_{a}^{b} = \ln b - \ln a$ .

(1)、求下列定积分：
① $\int_{π}^{2 π} \sin x d x =$                   ；
② $\int_{0}^{1} 2^{x} d x =$                   ；
③ $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x =$                   ；
④ $\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} d x =$                   .

(2)、已知 ${(1 + x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，计算：
① $S_{1} = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7}$ ；
② $S_{2} = a_{0} + \frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{3} a_{2} + \frac{1}{4} a_{3} + \frac{1}{5} a_{4} + \frac{1}{6} a_{5} + \frac{1}{7} a_{6} + \frac{1}{8} a_{7}$

(3)、当 $x \in R$ ， $|x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - x}$ .计算： $T = 1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + \dots$

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8、把正整数1，2，3，…，n按任意顺序排成一行，得到数列 $\{a_{n}\}$ ，称数列 $\{a_{n}\}$ 为1，2，3，…，n的生成数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是1，2，3，…，8的生成数列，记 $b_{k} = a_{k} + a_{k + 1} (1 \leq k \leq 7)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 所有项的和为S，求S所有可能取值的和；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是1，2，3，…，10的生成数列，记 $b_{k} = a_{k} + a_{k + 1} + a_{k + 2} (1 \leq k \leq 8)$ ，若数列 $\{b_{n}\}$ 中的最小项为T．
①证明： $T < 18$ ；
②求T的最大值．

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9、已知函数 $f (x) = a ln x + x^{2} + x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - 3 x + 1$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $F (x_{2}) + (\frac{1}{2} - ln 2) x_{1} > \frac{1}{2} - ln 2$ .

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1) + f (x + 1) = f (3)$ ， $f (- 2 x + 2)$ 为偶函数，且 $f (\frac{3}{2}) = 1$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ ， $\sum_{k = 1}^{2025} (k + 1) f (k - \frac{1}{2}) =$ .

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11、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，满足 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{1}{|P F_{2}|} = \frac{1}{c}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为.

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12、已知函数 $f (x), g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1) g (y + 1) = f (x - y) + f (y + 1) g (x + 1)$ ， $f (- 2) = f (1) \neq 0, f (2) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $g (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、3是函数 $f (x)$ 的周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = - \frac{1}{2}$

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13、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体 $A B C D - E F G H$ ．已知 $A B = A D = 2$ ， $A E = \sqrt{7}$ ， $\vec{D C} = 2 (\sqrt{2} + 1) \vec{D P}$ ，过直线 $E P$ 作平面 $α$ ，则十面体 $A B C D - E F G H$ 外接球被平面 $α$ 所截的截面圆面积的最小值是（）

A、 $\frac{(51 - 32 \sqrt{2}) π}{48}$ B、 $\frac{(51 - 32 \sqrt{2}) π}{12}$ C、 $\frac{(81 + 56 \sqrt{2}) π}{48}$ D、 $\frac{(81 + 56 \sqrt{2}) π}{12}$

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14、对 $n$ 个正整数用k种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设k的最大值为 $f (n)$ ，则（）

A、 $\log_{3} n \leq f (n) \leq \log_{2} n + 1$ B、 $\log_{2} n \leq f (n) \leq \log_{2} n + 1$ C、 $\log_{3} n \leq f (n) \leq \log_{2} n$ D、 $\log_{3} n \leq f (n) \leq \log_{3} n + 1$

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15、若 $a = \tan 0.03$ ， $b = \ln 1.03$ ， $c = \frac{3}{103}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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16、若 $a = \tan 0.03$ ， $b = \ln 1.03$ ， $c = \frac{3}{103}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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17、已知函数 $f (x) = k e x - \ln x + 1$ 的图象与函数 $g (x) = x e^{k x} + k x - eln x$ 的图象有且仅有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, + \infty)$ B、 $(- 1, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, e)$ C、 $(- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, e)$ D、 $(- 1, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, + \infty)$

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18、已知 $a - 2 = \ln \frac{a}{2}$ ， $b - 3 = \ln \frac{b}{3}$ ， $c - 3 = \ln \frac{c}{2}$ ，其中 $a, b, c \in (0, 1)$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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19、定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{5 x^{2}}{16}, 0 \leq x \leq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} + 1, x > 2 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${(f (x))}^{2} + a f (x) + b = 0 (a, b \in R)$ 有且仅有6个不等的实数根，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ B、 $(- \frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$ C、 $(- \frac{5}{2}, - \frac{9}{4}) \cup (- \frac{9}{4}, - 1)$ D、 $(- \frac{9}{4}, - 1)$

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20、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin \frac{A + C}{2} = b sin A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ ，求 $2 a - c$ 的取值范围.

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