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相关试卷

1、（多选）不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集是 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 2\}$ ，对于系数 $a, b, c$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $b < 0$ D、 $a - b + c > 0$

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2、下列说法中，正确的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ， $a b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $(a - b) c > 0$ D、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a - c > b - d$

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3、在 $R$ 上定义的运算 $\otimes : a \otimes b = a b + 2 a + b$ ，则满足 $x \otimes (x - 2) < 0$ 的实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 2)$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ x^{2} - a x + 6, x \geq 1 \end{array}$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{3}, 2]$ C、 $(\frac{1}{3}, 1]$ D、 $[1,2]$

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5、已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{2}{y} + \frac{3}{x}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{6} + 5$ B、 $2 \sqrt{6} - 5$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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6、如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

A、① $y = x^{- 1}$ ， ② $y = x^{\frac{1}{2}}$ ， ③ $y = x^{\frac{1}{3}}$ B、① $y = x^{- 1}$ ， ② $y = x^{\frac{1}{3}}$ ， ③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、① $y = x^{\frac{1}{3}}$ ， ② $y = x^{\frac{1}{2}}$ ， ③ $y = x^{- 1}$ D、① $y = x^{\frac{1}{3}}$ ， ② $y = x^{- 1}$ ， ③ $y = x^{\frac{1}{2}}$

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7、使“ $\frac{1}{x} > 1$ ”成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x > 0$ B、 $0 < x < \frac{1}{2}$ C、 $0 < x < 1$ D、 $0 < x < 2$

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8、下列是指数函数的是（　　）

A、 $y = - 3^{x}$ B、 $y = 2 x^{2} - 1$ C、 $y = a^{x + 1}$ D、 $y = π^{x}$

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9、已知集合 $A = \{x |- \frac{3}{2} < x \leq 3\}$ ， $B = \{x |- 3 \leq x < \frac{5}{2}\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- \frac{3}{2} < x \leq 3\}$ B、 $\{x |- 3 \leq x \leq 3\}$ C、 $\{x |- 3 \leq x < \frac{5}{2}\}$ D、 $\{x |- \frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}\}$

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10、棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都等于4， $∠ A B C = 60 °$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ .
（1）证明： $D B ⊥ A A_{1}$ ；
（2）求二面角 $D - A A_{1} - B$ 的平面角的余弦值；
（3）在直线 $C C_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使 $B P / /$ 平面 $D A_{1} C_{1}$ ？若存在，求出点 $P$ 的位置.

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11、为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ，答对第二题的概率分别是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ .

(1)、求甲考生通过某校强基招生面试的概率；

(2)、求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；

(3)、求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.

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12、一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间 $[50, 60), [60, 70), \cdot \cdot \cdot, [90, 100]$ 分成5组，得到图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果?

(3)、在日销售量为 $[70, 90] kg$ 苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在 $[80, 90]$ 的概率.

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13、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 4, C C_{1} = 2, A B = 3$ ．侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形， $C A ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, C C_{1} ⊥$ 平面ABC.

(1)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离．

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14、已知 $△ A B C$ 顶点 $A (1, 2)$ 、 $B (- 3, - 1)$ 、 $C (3, - 3)$ ．

(1)、求边 $B C$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ ，且 $l_{2}$ 的纵截距是横截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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15、在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $D A$ ， $B B_{1}$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别为线段 $D_{1} A_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 上的动点（不包括端点），且 $E N ⊥ F M$ ，则线段 $M N$ 的长度的最小值为.

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16、事件 $A$ 、 $B$ 是相互独立事件，若 $P (A) = m, P (B) = 0.3$ ， $P (\bar{A} + B) = 0.7$ ，则实数 $m$ 的值等于.

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17、已知直线 $l : y = k x + 2$ 在 $x$ 轴上的截距为1，则 $k =$ .

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18、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所在棱长均为2，P为棱 $C C_{1}$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ B、该正三棱柱外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$ C、存在点P，使得 $B P ⊥ A B_{1}$ D、点P到直线 $A_{1} B$ 的距离的最小值为 $\sqrt{3}$

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19、已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$

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20、过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 2, 1)$ ， $B (2 \sqrt{3}, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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