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相关试卷

1、已知公差不为零的两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ ，记它们的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，则（）

A、当 $S_{5} = S_{10}$ 时， $a_{8} = 0$ B、当 $a_{7} > 0$ ，且 $S_{6} > S_{8}$ 时，数列 $\{S_{n}\}$ 的前14项均是正数 C、当 $T_{15} = 5 (b_{3} + b_{5} + b_{k})$ 时， $k = 16$ D、当 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 3}{2 n - 1}$ 时， $\frac{a_{7}}{b_{5}} = \frac{16}{17}$

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a \sqrt{x}$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = 2 x - \frac{a}{\sqrt{x}}$ B、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 2$ C、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 有最大值 D、当函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减时， $a \geq 2$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 102$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 b_{n}$ ，其中 $b_{n}$ 等于 $a_{n}$ 的个位数，则 $a_{2026} =$ （）

A、20342 B、20346 C、20358 D、20374

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4、已知点 $M (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 关于直线 $y = tan θ \cdot x (0 < θ < \frac{π}{2})$ 对称的点在圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{5π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = B C = C P = \sqrt{2} A P$ ， $∠ A P B = 90 °$ ，则直线 $A C$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{37}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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6、已知函数 $f (x)$ 在区间 $[- π, π]$ 的大致图象如右图所示，则 $f (x)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = - x sin x + cos x$ B、 $f (x) = x sin x + cos x$ C、 $f (x) = - x^{3} sin x + cos x$ D、 $f (x) = x^{3} sin x + cos x$

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7、抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.根据光路可逆性，若一条与 $x$ 轴平行的光线经过点 $A (3, y_{0})$ 后，射到抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 上，经过两次反射后从点 $B (4, 2)$ 射出，已知光线从点 $A$ 到点 $B$ 经过的总路程为9，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = S_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

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9、直线 $4 x - 3 y + 1 = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(4, 3)$

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10、已知点 $B$ 是点 $A (- 1, 2, - 5)$ 在坐标平面 $O x z$ 内的投影，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(0, 2, 0)$ B、 $(- 1, 2, 0)$ C、 $(- 1, 0, - 5)$ D、 $(0, 2, - 5)$

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11、苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（）种分配方案

A、90 B、120 C、360 D、540

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12、已知函数 $f (x) = a e^{x} (e^{x} + 1)$ ， $g (x) = 2 e^{x} + x$ ．

(1)、求证： $g (x) \geq 3 x + 2$ ；

(2)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ．
（ⅰ）若 $h (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围；
（ⅱ）当 $a > 0$ 时，求证： $h (x) > 3 \ln a - a^{2} - \frac{1}{a}$ ．

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13、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $T$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆C和抛物线 $T$ 的准线在第二象限交点的纵坐标为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为 $Q_{1}$ ，试问 $△ F_{2} P Q_{1}$ 的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，且 $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D ⊥ P D$ ， $A D = D C = P D = 2 A B$ ， M为PC中点．

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面ADM；

(2)、若 $P C = \sqrt{3} C D$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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15、已知各项均不相等的正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 6$ ，且 $\log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{9} - 2 \log_{2} a_{3} = 0$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}, (n 为奇数) \\ a_{n} + 1, (n 为偶数) \end{array}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ．

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16、已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (- 1, 2)$ ， $B (1, 0)$ ， $C (2, - 2)$ ．

(1)、求边AC的垂直平分线的方程；

(2)、若直线BC与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - b)}^{2} = 5$ 相切，求b的值．

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17、已知函数 $f (x) = e^{x - 3}$ ， $g (x) = \ln x + \frac{1}{2} - \ln 2$ ，若 $f (a) = g (b)$ 成立，则 $b - a$ 的最小值为．

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18、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，其中一条渐近线与圆 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 交于M，N两点，则 $|M N| =$ ．

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19、在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} a_{3} = 4$ ， $a_{2} + a_{4} = 8$ ，则 $a_{5} =$ ．

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20、设O为坐标原点，直线 $x = m y + 1$ 过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且与C交于A，B两点，l为抛物线C的准线，则（）

A、 $p = 2$ B、以 $A B$ 为直径的圆与l相切 C、当 $m = \sqrt{3}$ 时， $|A B| = \frac{16}{3}$ D、当 $|A F| = 2 |B F|$ 时， $|O A| = \frac{4 \sqrt{3}}{3} |O B|$

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