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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (x, 2 - x), \vec{b} = (- 1, - x)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的一个值为．

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2、函数 $f (x) = \sqrt{\log_{2} x}$ 的定义域为.

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为5cm，第一次操作：取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E, F, G, H$ ，作第二个正方形 $E F G H$ ；第二次操作：取正方形 $E F G H$ 各边的中点 $I, J, K, L$ ，作第三个正方形 $I J K L$ ，依此方法一直操作下去．若经过 $n$ 次这样的操作后，使得到所有正方形（包括正方形 $A B C D$ ）的面积之和大于 $49.9$ cm² ，则 $n$ 的最小值为（）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、8 B、9 C、10 D、18

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4、设函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin 3 x$ ，关于 $f (x)$ 有下列四个结论：
① $f (x)$ 的导函数为周期函数，且最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；
② $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增
③ $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称；
④方程 $f (x) = a$ 在 $(0, π)$ 上有唯一解，则实数 $a$ 的值为 $- 1$ ．
其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5、已知函数 $f (x)$ ．甲同学将 $f (x)$ 的图象向左平移1个单位长度，得到图象 $C_{1}$ ；乙同学将 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象 $C_{2}$ ．若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 恰好重合，则下列给出的 $f (x)$ 中符合题意的是（）

A、 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ B、 $f (x) = \log_{2} x$ C、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ D、 $f (x) = 2^{x}$

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6、在锐角 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} b \sin A + a \cos B = \sqrt{2} a$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ”是“ $\vec{b} = \vec{c}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知 $a > 1 > b > 0, c \in R$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{a + b}{2} < \sqrt{a b}$ C、 $a^{c} > b^{c}$ D、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$

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9、下列函数中，既是奇函数，又在 $(0, + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ B、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ C、 $f (x) = \tan x$ D、 $f (x) = x^{- 3}$

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10、已知命题 $p :$ “ $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ ”，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$

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11、已知复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 在复平面内对应的点的坐标是 $(- 1, - 3)$ ，则 $z \cdot i =$ （）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $- 3 - i$

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12、已知集合 $A = \{x |- 3 < x < 3\}$ ，集合 $B = \{x |x + 1 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 \leq x < 3\}$ B、 $\{x |- 3 < x \leq - 1\}$ C、 $\{x |x \geq - 1\}$ D、 $\{x |x > - 3\}$

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13、已知函数 $f (x) = ln x + a x^{2} - (a + 2) x + 2 a$ .

(1)、若 $a > 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ 时，方程 $f (x) = - \frac{7}{2}$ 的两个不同实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 1$ .

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $M (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是 $C$ 上的点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 为 $C$ 的左、右顶点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（不与点 $A, B$ 重合）.
（i）求 $S_{△ A P Q}$ 的最大值；
（ii）记 $A P, B Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $m \in R$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ 使得 $m > \frac{1}{a_{1}} + \frac{3}{a_{2}} + \frac{5}{a_{3}} + \dots + \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ 恒成立，求 $m$ 的最小值.

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16、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ B C$ ， $A D ∥ B C$ ， $S A = A D = 2$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} E C = 1$ .

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $S A E$ ；

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 的夹角的余弦值.

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17、已知直线 $l_{1} : x - 3 y - 1 = 0$ ， $l_{2} : (a - 2) x - a y + 2 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ .

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l_{2}$ 被圆 $C$ 截得的弦长为8，求 $a$ 的值.

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $sin ∠ A F_{1} F_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $|F_{2} A| = |F_{2} B|$ ，则双曲线的离心率为.

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19、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0$ 相切，则 $r =$

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20、已知曲线 $C$ 的方程为： $\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1, y \geq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1, y < 0 \end{array}$ ，倾斜角为 $θ_{1} (θ_{1} \in (0, \frac{π}{2}))$ 的直线经过点 $A (- 1, 0)$ ，且与 $C$ 恰有两个交点M，N（点 $M$ 在 $x$ 轴上方），记过点 $M$ 和 $B (1, 0)$ 的直线倾斜角为 $θ_{2}$ ，则（）

A、 $tan θ_{1} \in (0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $sin θ_{1} + sin θ_{2} = \sqrt{2} sin (θ_{2} - θ_{1})$ C、当平面 $M A B$ 沿直线 $A B$ 折起，使二面角 $M - A B - N$ 为直二面角时，点 $M$ 到平面 $A B N$ 的最大距离为1 D、当平面 $M A B$ 沿直线 $A B$ 折起，使 $M B ⊥$ 平面 $N A B$ 时，点 $B$ 到平面 $A M N$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{34} - \sqrt{17}}{17}$

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