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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}{x + 2}$ 的值域是 $[a, b]$ ，则 $b - a =$ （）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a^{2} + b^{2} = 4$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + a b$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 4$ ，则（）

A、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 2$ B、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 4$ C、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 2$ D、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 4$

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4、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}$ ，则 $tan α =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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5、现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第 $80$ 百分位数与中位数分别是（）

A、4，6 B、5，4 C、6，4 D、6，5

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6、设不等式 $x^{2} + 3 x \leq 10$ 的解集为 $M$ ，则（）

A、 $\sqrt{3} \in M$ B、 $- 6 \in M$ C、 $1 \notin M$ D、 $\sqrt{6} \in M$

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7、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} = 2 b_{n} + n - 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 $\{b_{n} + n\}$ 为等比数列；

(3)、求数列 $\{(n + b_{n}) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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8、已知集合 $A = {(x, y) ∣ y = 2 a x}, B = {(x, y) ∣ y = a x - b}, A \cap B = {(1, 3)}$ ，则 $b =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9、为了得到函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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10、已知 $a = ln \frac{5}{2}, b = \frac{3}{2}, c = {log}_{2} 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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11、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} k x^{2} - x$ （ $k$ 为常数，且 $k \geq 0$ ）．

(1)、当 $k = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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12、设有序数阵 $T_{n} = [\begin{array}{l} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i}, \dots, a_{n} \\ b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i}, \dots, b_{n} \end{array}]$ ，集合 $C_{n} = \{1, 2, 3, \dots, 2 n\}$ ，（其中 $i = 1, 2, 3, \dots, n, n \in N, n \geq 4$ ）．若 $T_{n}$ 满足：① $\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i}, \dots, a_{n}\} \cup \{b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i}, \dots, b_{n}\} = C_{n}$ ；② $a_{i} - b_{i} = i$ ，则称 $T_{n}$ 为集合 $C_{n}$ 的覆盖数阵．

(1)、若 $T_{4} = [\begin{array}{l} 8, b, 4, e \\ a, c, d, 2 \end{array}]$ 为 $C_{4}$ 的覆盖数阵，求 $a, b, c, d, e$ 的值；

(2)、当 $n \leq 7$ 时，写出所有的 $n$ 的取值，使得 $T_{n} = [\begin{array}{l} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i}, \dots a_{n} \\ b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i}, \dots b_{n} \end{array}]$ 为 $C_{n}$ 的覆盖数阵．

(3)、设有序数阵 $T_{n}$ 的个数为 $|T_{n}|$ ，若 $T_{n}$ 为 $C_{n}$ 的覆盖数阵，求证： $\frac{|T_{n}|}{2} \in N$ ．

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数 $f^{'} (x) = e^{x} - 2 a x - 1$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，求 $f^{'} (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (0) = k + 1, g (x) = - a x^{2} + k$ ，求证：函数 $f (x)$ 的图象恒在函数 $g (x)$ 的图象的上方；

(3)、若 $x = 0$ 为 $f (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + a x - 1$ 有三个零点记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，其中 $x_{1} \in (0, 1)$ 和 $x_{3} \in (1, + \infty)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, 0)$ 处的切线为 $l$ ，设直线 $l$ 与 $y$ 轴交点的坐标为 $(0, m)$ ，求 $m$ 的范围．

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15、如图，在六面体 $A B C D E F$ 中， $A B C D$ 为正方形， $D E // A F, ∠ A D E = 90 °, A D = D E = \frac{1}{2} A F$ ．

(1)、求证 $C E //$ 平面 $A B F$ ；

(2)、若二面角 $B - A D - F$ 为直二面角，求平面 $C E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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16、设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，且 $f (0) = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12}]$ 上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在，求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的取值范围．
条件①： $f (\frac{π}{6}) - f (0) = 1$ ；
条件②： $x = \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点；
条件③： $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称；
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b, \sin C = \frac{\sqrt{6}}{2} \sin B$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a = 3 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ．对于正实数 $a$ ，定义集合 $M_{a} = \{x |f (x + a) = f (x)\}$ ．给出下列四个结论：
①若 $f (x) = x^{2}$ ，则 $M_{2} = \{- 1\}$ ；
②若 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则 $M_{π} = R$ ；
③若 $f (x) = \{\begin{cases} x + 2, x < 0 \\ \sqrt{x}, x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $M_{\frac{7}{4}} = \emptyset$ ；
④若 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x}, x \leq 0 \\ \ln x + 1, x > 0 \end{cases}$ ，则 $\forall a \geq 1$ 都有 $M_{a} \neq \emptyset$ ．
其中正确结论的序号是．

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19、如图，某坡屋顶可视为一个五面体，底面 $A B C D$ 为矩形， $E F / / A B, E A = E D = F B = F C$ ．若 $A B = 25$ m， $B C = 10$ m， $E F = 15$ m，且 $E A, E D, F B, F C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值均为 $\frac{3 \sqrt{59}}{59}$ ，则该五面体的体积为m³ ．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 3, a_{4} = 7$ ，则 $a_{n} =$ ；若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $b_{1} b_{2} + b_{2} b_{3} + \dots +$ $b_{2024} \cdot b_{2025} =$ ．

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