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相关试卷

1、已知 $A (2 ， 1) ， B (\frac{2}{3} ， 0) ， C ， D$ 四点均在函数f（x）＝log₂ $\frac{a x}{x + b}$ 的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）

A、 $\frac{26}{5}$ B、 $\frac{26}{3}$ C、 $\frac{52}{5}$ D、 $\frac{52}{3}$

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2、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $10$ 项和为（）

A、 $1078$ B、 $1077$ C、 $567$ D、 $550$

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3、已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $(a^{2} - b^{2} - c^{2}) \sin C \cos C = b c$ $\cos (B + C)$ ， $a = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ B、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 2)$ C、 $(2 + \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} + 1)$

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4、已知 $α ， β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$

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5、在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ ， $γ = 30 °$ ，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知 $B C = 5 \sqrt{2}$ ， $A D = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ， $E B = \sqrt{2}$ ，则隧道DE的长度为（）

A、 $5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{6}$ C、10 D、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$

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6、复数 $z = \frac{5}{- 1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、已知函数 $f (x) = \frac{a x}{x - 2} (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [3, 4]$ 的值域；

(2)、当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 1$ ；

(3)、当 $a, b, c \in R^{+}$ ，且满足 $f (1) \geq - b - c$ ，求 $\frac{2 c b}{a + b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值．

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8、某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（）

A、 $C_{5}^{4}$ B、 $A_{5}^{4}$ C、 $5^{4}$ D、 $4^{5}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{B}{2}) = \sqrt{3}$ ，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $C D = 5$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，求AD的长．

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \cos B = (2 c - b) \cos A$ .
（1）求A；
（2）已知 $b = 3$ ，若 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C} = 2 \overset{⃑}{A M}$ 且 $|\overset{⃑}{A M}| = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m, n$ 的值；

(3)、若复数 $z_{1}$ 满足 $|z_{1} - 1| = 2$ ，求 $|z_{1} - z|$ 的最值．

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12、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A F} =2$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值是．

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13、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是空间中两个不共线的向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $A, B, D$ 三点共线，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $- 4$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{26}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $4 + \sqrt{2}$

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15、已知函数 $f (x) = a e^{x} - 2 x$ ．

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时，不等式 $f (x) < (e - 2) x + 2 e^{x} + a - 1$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\sin B} = 2 \sqrt{6}$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $c = 6$ .

(1)、求证： $a + b = \frac{\sqrt{2}}{2} a b$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，设平面 $A_{1} B M$ 与底面 $A B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $A C_{1} ∥$ 平面 $A_{1} B M$ ；

(2)、证明： $l ∥$ 平面 $A_{1} M C$ ．

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3), \vec{b} = (1, - 2)$

(1)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) // (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $k$ 的取值范围.

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19、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $C = 60 °$ ， $a = 1$ ， $c = \sqrt{7}$ ，则 $b =$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 1$ B、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 只有一解，则 $b$ 的取值范围为 $(0, 1]$ D、 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} = \frac{1}{2}$

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