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相关试卷

1、2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩 $\in (80, 100]$ ，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、从乙学校竞赛分数在 $(70, 90]$ 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；

(3)、现从参与竞赛的学生中随机抽取 $n (n \geq 8)$ 人，若要使 $P (Y = 8)$ 取得最大值（ $Y$ 表示 $n$ 人中优秀人数），求 $n$ 的值.

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2、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、已知三棱锥 $B - A C C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点？若存在，求实数 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由.

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4、已知正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ， $A B = 2$ ，现将其沿对角线 $A C$ 翻折，使得 $D$ 在面 $A B C$ 内的射影为 $A C$ 的中点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $∠ E O F =$ ，再将 $△ E O F$ 绕直线 $E F$ 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为.

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5、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60^{°}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， $P$ 在 $C D$ 上， $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A C} + λ \vec{A D}$ ，则 $\bar{A P} \cdot \bar{B C} =$ .

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6、在复平面内，复数 $z$ 的对应点坐标为 $(1, - 2)$ ，则 $z^{2}$ 的共轭复数为.

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7、已知定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (x) + x f^{'} (x)}{e^{x}} = 1$ ， $f^{'} (1) - 1 = 0$ .数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} f (a_{n + 1}) - f (a_{n}) = - 1$ ，则（）

A、 $f (\ln 2) \cdot \ln 2 = 1$ B、 $f (n) > 1$ C、 $a_{2025} < a_{2024}$ D、 $a_{n} \geq 1$

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8、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $(n + 1) S_{n + 1} = (n + 2) S_{n} + n (n + 1) (n + 2)$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{1} = - 50$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a_{4} < 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为8

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9、下列说法中正确的是（）

A、具有相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的相关系数为 $r$ ，那么 $| r |$ 越接近于0，则 $x$ ， $y$ 之间的线性相关程度越高 B、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C、数据 $144$ ， $145$ ， $145$ ， $146$ ， $148$ ， $151$ ， $151$ ， $153$ ， $154$ ， $155$ ， $157$ ， $163$ 的上四分位数是154 D、设随机变量 $X$ 的均值为 $μ$ ， $a$ 是不等于 $μ$ 的常数，则 $X$ 相对于 $μ$ 的偏离程度小于 $X$ 相对于 $a$ 的偏离程度

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10、若函数 $f (x)$ 的定义域内存在 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) - 1 = 1 - f (x_{2})$ 成立，则称该函数为“完备函数”.已知 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (ω x - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{4 π}{3}) (ω > 0)$ 是 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上的“完备函数”，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[3, 4)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $[2, 4)$ D、 $[3, + \infty)$

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11、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的焦距为 $m$ ，过右顶点的直线 $l$ 与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{8} m$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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12、广安白塔始建于1174年至1224年间，塔的一至五层为石结构，六至九层为砖结构，每层均为四方结构（即每层底面为正方形）， $P$ 为第一层下底面四边形的外接圆 $O$ 内一点，经测算，每一层的高度恰为过 $P$ 的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点 $P$ 的圆的最短弦长度的一半，第一层的高度为过点 $P$ 的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为 $5 \sqrt{2}$ 米， $| O P | = 3$ 米，则塔高为（）

A、41米 B、40.5米 C、39.5米 D、38.7米

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13、关于二项式 $(x^{2} - \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{6}$ ，若展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数为21，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、-1

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14、三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D$ 为以 $B C$ 为直径的半圆圆周上的动点（不同于 $B$ 、 $C$ 的点）.若 $A B = 5$ ， $B D = 3$ ，则该三棱锥体积的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{5 π}{12}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）

A、 $y = 3^{x}$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x + \frac{3}{x}$

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17、已知集合 $A = \{x \in N | - 1 < x \leq 1\}$ ，集合 $B = \{x | x = \sin α, α \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素个数为（）

A、1 B、0 C、3 D、2

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18、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足当 $x \in R$ 时， $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) > 0$ ，若 $a > b$ ，则有（）

A、 $f (a) g (a) = f (b) g (b)$ B、 $f (a) g (a) > f (b) g (b)$ C、 $f (a) g (a) < f (b) g (b)$ D、 $f (a) g (a)$ 与 $f (b) g (b)$ 的大小关系不定

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19、已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x + \frac{π}{3})$ （ $ω > 0$ ），若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f^{2} (x) - a f (x) + \frac{a}{4}$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上有三个不同零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$
①求实数a的取值范围；
②求 $2 x_{1} + x_{2} > - \frac{π}{4}$ ，求实数a的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $P$ 是图象的最高点， $Q$ 为图象与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，且 $P$ 点坐标为 $(\frac{1}{2}, 1)$ ， $|\overset{⃑}{O Q}| = 2$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象向右平移1个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0, 2]$ 时，求函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ 的最大值.

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