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相关试卷

1、已知 $α$ 是第二象限角，则（）

A、 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 B、 $\sin \frac{α}{2} > 0$ C、 $\sin 2 α < 0$ D、 $2 α$ 是第三或第四象限角

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2、已知 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 5$ ，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{10} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{10} \vec{b}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{b}$

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3、已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $6 c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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4、已知非常数数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n} - 4 n - 4}{a_{n + 1} - 4 n - 4}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $3^{a_{1}} b_{1} + 3^{a_{2}} b_{2} + 3^{a_{3}} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{a_{n}} b_{n} = a_{n}^{2}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、如图，四边形 $A D E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A B = 2$ ，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $C F ⊥ C B$ .

(2)、求平面 $A D E F$ 与平面 $B C F$ 夹角的余弦值.

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6、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} b c (1 - \cos A)$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 4$ ， $b = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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7、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的 $1, 3, 6, 10$ 称为三角形数，第二行的 $1, 5, 12, 22$ 称为五边形数，则三角形数的第20项为，五边形数的第24项为.

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8、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，则 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域为.

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $C$ 的长轴长为.

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10、已知 $P (x, y)$ 是曲线 $y = \sqrt{- 4 x - x^{2}}$ 上一动点，若满足 $|x + y - t| = 2$ 的点 $P$ 恰有2个，则实数 $t$ 的取值可能是（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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11、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列 $1, 3, 6, 10$ ，它的前后两项之差组成新数列 $2, 3, 4$ ，新数列 $2, 3, 4$ 为等差数列，这样的数列 $1, 3, 6, 10$ 称为二阶等差数列.已知数列 $\{a_{n}\}, a_{1} = 2, a_{2} = 6$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1) (n ⩾ 2)$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列 B、 $a_{n} = 4 n - 2$ C、数列 $\{a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}\}$ 为三阶等差数列 D、数列 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 为二阶等差数列

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12、已知正三棱柱的侧棱长为 $l$ ，底面边长为 $a$ ，若该正三棱柱的外接球的体积为 $36 π$ ，则 $l + a$ 的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $7 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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13、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} + n - 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $S_{n} \leq 0$ D、数列 $\{S_{n} - a_{n}\}$ 为等差数列

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$ D、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$

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15、随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（）

A、45% B、30% C、13.5% D、13%

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16、在复平面内，复数 $(9 - 8 i) (5 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、设集合 $A = \{x |x^{2} \leq 1\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x |- 2 \leq x \leq 1\}$ C、 $\{x |- 3 \leq x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x \leq 1\}$

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18、已知函数 $f (x) = 2 sin x - |x - a|$ 的最大值为0，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $- \sqrt{3} - \frac{5 π}{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{4 π}{3}$ C、 $\sqrt{3} - \frac{2 π}{3}$ D、 $- \sqrt{3} + \frac{π}{3}$

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19、已知常数 $k$ 为非零整数，若函数 $y = f (x)$ ， $x \in [0, 1]$ 满足：对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 1]$ ， $\frac{|f (x_{1}) - f (x_{2})|}{|{(x_{1} + 1)}^{k} - {(x_{2} + 1)}^{k}|} \leq 1$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为 $N (k)$ 函数.

(1)、若函数 $y = m x$ ， $x \in [0, 1]$ 为 $N (2)$ 函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 为 $N (1)$ 函数，图像在 $x \in [0, 1]$ 是一条连续的曲线， $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{2}{3}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在唯一的极大值点，求函数 $y = f (x)$ 最值差的绝对值的取值范围；

(3)、若 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{1}{20} x^{2} + \frac{x}{10} + a \ln (x + 1)$ ，且 $y = f (x)$ 为 $N (- 1)$ 函数， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的一阶导函数，对任意 $x$ ， $y \in [0, 1]$ ，恒有 $M \geq | g (x) - g (y) |$ ，记 $M$ 的最小值为 $M (a)$ ，求 $a$ 的取值范围及 $M (a)$ 关于 $a$ 的表达式.

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20、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 40 = 0$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (ρ > 0)$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $| M N | = 8$

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设过抛物线焦点 $F$ 的直线交 $C_{2}$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过圆心 $C_{1}$ 的直线 $C_{1} A$ 与曲线 $C_{2}$ 的另一个交点为 $C$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 与 $C$ 之间.
（i）证明：线段 $B C$ 垂直于 $x$ 轴：
（ii）记 $△ F B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C_{1} F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $8 S_{2} - S_{1}$ 的取值范围.

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