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相关试卷

1、已知直线l： $k x + y - 2 k - 1 = 0$ 与圆C： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 8$ ，下列说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(2, 1)$ B、直线l与圆C截得弦长的最小值为 $\sqrt{6}$ C、当 $k = - 1$ 时，圆C上有且仅有3点到直线l的距离为 $\sqrt{2}$ D、 $(m, n)$ 是圆C上的点，则 $\frac{n}{m + 1}$ 的最大值为 $\frac{3}{4}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x$ ， $x \in [0, 3]$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f^{'} (2) = 5$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, 9]$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上为增函数 D、关于x的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in (- \frac{5}{3}, 0]$

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3、已知 $0 < x < y < \frac{π}{2}$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\sin x - \sin y < x - y$ B、 $x - y < \tan x - \tan y$ C、 $x \sin y < y \cos x$ D、 $\tan y > x y$

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4、设F是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线 $x - \sqrt{3} y - 18 = 0$ 上的动点，则 $|A B| - |A F|$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{4} + a_{6} = 12$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则 $b_{a_{3}}$ 的值为（）

A、 $12$ B、 $24$ C、 $48$ D、 $96$

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6、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，点M的坐标为 $(0, 2 b)$ ，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则双曲线C的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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7、曲线 $y = x^{3} + \ln x + 1$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x - y - 1 = 0$ B、 $4 x - y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y + 3 = 0$ D、 $4 x + y - 6 = 0$

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8、已知 $\vec{a} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 1)$ ， $\vec{c} = (3, 5, 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、若圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 6 = 0$ ，则圆的圆心和半径分别为（）

A、 $(1, - 2)$ ； $r = \sqrt{11}$ B、 $(2, - 1)$ ； $r = \sqrt{11}$ C、 $(1, - 2)$ ； $r = 11$ D、 $(2, - 1)$ ； $r = 11$

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10、已知直线的点斜式方程是 $y + 2 = \sqrt{3} (x + 1)$ ，则直线在y轴上的截距为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $\sqrt{3} - 2$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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11、“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .已知点P为 $△ A B C$ 的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 6$ ，求 $P A \cdot P B + P B \cdot P C + P A \cdot P C$ 的值；

(3)、若 $A C ⊥ B C$ ， $P A + P B = λ P C$ ，求实数 $λ$ 的最小值.

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} + m$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上有相异两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求实数m的取值范围；
②当 $t = x_{1} + x_{2}$ 时，函数 $g (t) = a \sin t + b \cos t (a b \neq 0)$ 取最大值，设 $\cos θ = \frac{b}{a}$ ，求 $\cos 3 θ$ .

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13、如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $C D = 5$ ， $A B = 2$ .

(1)、求线段AC的长度；

(2)、求 $\sin ∠ A D C$ 的值.

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14、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 5$ ，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）.

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15、已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，其中 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ ；

(2)、求 $β$ .

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16、在非钝角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是 $△ A B C$ 的重心且 $4 - \cos 2 A = 3 \sqrt{3} \sin (B + C)$ ，则角 $A =$ ；若 $b = 4$ ， $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $c =$ .

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17、已知 $\cos (θ - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{6}) =$ ．

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18、如图，已知 $⊙ O$ 的内接四边形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A D = C D = 3$ ，则（）

A、四边形ABCD的面积为 $\frac{21}{4}$ B、该外接圆的半径为 $\frac{\sqrt{57}}{3}$ C、过D作 $D F ⊥ B C$ 交BC于F点，则 $\vec{D C} \cdot \vec{D F} = \frac{27}{4}$ D、 $\vec{B O} \cdot \vec{C D} = - 3$

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19、已知 $\frac{\sin α}{\sin α - \cos α} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\tan α = \frac{4}{3}$ B、 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{7}$ C、 $\cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\cos 2 α = - \frac{7}{25}$

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20、下列有关向量的说法，正确的有（）

A、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{B C}$ 的夹角为60° B、两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 C、若 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 6)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 可作为平面向量的一组基底 D、已知非零向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{D C}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ，则A，B，C，D四点构成一个梯形

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