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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，点D是边 $A C$ 的中点，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ，若点P为平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P B} \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})$ 的最小值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 3$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- 6$

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 \sin C}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ ，则角 $C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 10$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的a的值可以为（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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4、 $\frac{1 - 2 \sin^{2} 35^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin 40^{\circ}} - \cos 20^{\circ}}$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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5、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $- 8$

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6、函数 $y = 3 x - 2$ 的零点是（）

A、 $- 2$ B、 $(0, - 2)$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $(\frac{2}{3}, 0)$

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7、已知函数 $f (x) = x + 1, g (x) = x^{2} + 2$ ．定义 $\min {a, b} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，设 $m (x) = \min {f (| x - t |), g (| x - 2 t |)}, x \in R$ ， $t$ 为常数．

(1)、当 $t = 0$ 时，判断函数 $m (x)$ 的奇偶性；

(2)、已知 $a \geq 3$ ，求使得等式 $\min \{2 f (|x - 1|), x^{2} - 2 a x + 4 a\} = x^{2} - 2 a x + 4 a$ 成立的 $x$ 取值范围；

(3)、定义区间 $(p, q)$ 的长度为 $q - p$ ．若 $m (x) < t$ 的解集为 $D$ ，问是否存在 $t$ ，使得 $D$ 的全部区间长度之和等于6，若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

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8、函数 $f (x) = x + \frac{1}{2 x^{2}} (x > 0)$ ；

(1)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(2)、若 $x_{2} > x_{1} > 0, x_{1} + x_{2} = 2$ ，求证： $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b c = 8, ∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}, P$ 为CD上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $| \vec{A P} |$ 的最小值．

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{e}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{e}| = 1$ ， $|\vec{b} - \vec{a}| = 1$ ， $< \vec{a}, \vec{e} > = \frac{2 π}{3}$ ，且对任意的实数 $t$ ，均有 $|\vec{c} - t \vec{e} |\geq| \vec{c} - 2 \vec{e}|$ ，则 $|\vec{c} - \vec{b}|$ 的最小值为.

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11、如图，函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像经过 $A (0, \sqrt{3}), B (\frac{π}{3}, 0)$ ，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、方程 $f (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$ 所有根的和为 $\frac{4 π}{3}$ C、若 $f (x + m)$ 为偶函数，则正数 $m$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、若 $f (λ x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上无零点，则正数 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{2}{3}] \cup [1, \frac{5}{3}] \cup [\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$ C、若 $λ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则 $λ = - 2$ D、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 最大值为 $3$

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13、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = \frac{1}{2} f (x) f (y)$ ， $f (1) = 2$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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14、已知 $p : |\frac{b}{a}| < 1$ ， $q : b < |a|$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $A = \{x ∣ 2 x^{2} - 3 x > 0\}, B = (1, 2)$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $[0, \frac{2}{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(1, \frac{3}{2}]$

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16、已知集合 $S_{n} = \{X |X = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{i} \in \{0,1\}, i = 1,2, \cdot \cdot \cdot, n\} (n \geq 2)$ ，对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $B = (b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i} - b_{i}|$ ．

(1)、已知 $A = (1, 1, 1, 0) \in S_{4}$ ，写出所有的 $B \in S_{4}$ ，使得 $d (A, B) = 1$ ；

(2)、已知 $I = (1, 1, \cdot \cdot \cdot, 1) \in S_{n}$ ，若 $A, B \in S_{n}$ ，并且 $d (I, A) = d (I, B) = p \leq n$ ，求 $d (A, B)$ 的最大值；

(3)、设集合 $P \subseteq S_{n}$ ， $P$ 中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，若 $P$ 中任意两个元素间的距离的最小值为 $t$ ，求证： $m \leq 2^{n - t + 1}$ ．

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17、已知椭圆E的两个顶点分别为 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，焦点在x轴上，且椭圆E过点 $C (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设O为原点，不经过椭圆E的顶点的直线l与椭圆E交于两点 $P (x_{1}, y_{1})$ $Q (x_{2}, y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，直线BP与直线OC交于点H，点M与点Q关于原点对称.
（i）求点H的坐标（用 $x_{1}$ ， $y_{1}$ 表示）；
（ii）若A，H，M三点共线，求证：直线l经过定点.

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 过点 $P (1, 1)$ ，过点 $(0, \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M、N，过点M作x轴的垂线分别与直线 $O P$ ， $O N$ 交于点A，B，其中O为原点．

(1)、求抛物线C的方程，并求其焦点坐标；

(2)、求证：A为线段 $B M$ 的中点．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， E是线段 $A D$ 的中点，连结 $B E$ .

(1)、求证： $B E ⊥ P A$ ；

(2)、求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值.

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20、椭圆E的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

(1)、直接写出椭圆E的焦点坐标和长轴长；

(2)、已知直线 $l : y = x + m$ 交椭圆E于A，B两点，且 $|A B| = \frac{8}{5}$ ，求直线l的方程.

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