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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{c}{a} = \frac{1 + cos C}{2 - cos A}, c = 4$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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2、设 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} ＝ 0$ ，则 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 的最小值为．

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3、数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 $O, G, H$ 分别为三角形 $A B C$ 的外心､重心､垂心，且 $M$ 为 $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ B、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ D、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A O} + \frac{2}{3} \vec{A H}$

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4、在 $△ A B C$ 中，下列结论中，正确的是（）

A、若 $cos 2 A = cos 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ C、若 $A B^{2} + A C^{2} > B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $A = 60^{°}, A C = 4$ ，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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5、已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $|\vec{A B} - \vec{A C}| = 2 \sqrt{2}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 6 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的动点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最小值为（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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6、已知 $△ A B C$ 满足 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ， $\vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，且向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则 $tan ∠ C M A =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $C = \frac{π}{3}$ ，若 $\vec{m} = (c - \sqrt{6}, a - b)$ ， $\vec{n} = (a - b, c + \sqrt{6})$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、3 $\sqrt{3}$

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8、G是 $△ A B C$ 的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若 $a \vec{G A} + b \vec{G B} + \frac{\sqrt{3}}{3} c \vec{G C} = \vec{0}$ ，则角 $A =$ （）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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9、在 $△ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{3}$ ， $b = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $B$ 为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ 或 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{4}$

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} + \vec{a} | - | \vec{b} - \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{c} + \vec{a} | = 1$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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11、已知 $f (x)=[ln x +ln(2π− x)]⋅sin x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x +π)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 有3个零点 D、 $∀ x ∈ (0, π]$ ， $f (x)⩽2lnπ$

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12、已知复数数列 $\{z_{n}\}$ 满足 $z_{1} = 1$ ， $z_{n + 1} = \bar{z_{n}} + 1 + n i$ ，其中 $n = 1,2, \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z_{n}}$ 表示 $z_{n}$ 的共轭复数，则 $z_{2025}$ 的值为（）

A、 $2025 + 4098600 i$ B、 $4049 - 2024 i$ C、 $2025 + 1012 i$ D、 $4049 + 2024 i$

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13、已知集合 $A = {- 1, 0, 4}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A, x \in R\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 2, 4}$ B、 ${- 1, 0, 1, 4, 16}$ C、 ${- 1, 0, 2, 4}$ D、 ${0, 1, 16}$

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14、已知 $a, b, c$ 均为正实数，且满足 $9 a + 4 b + 4 c = 4$ ．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{100 b} - 4 c$ 的最小值；

(2)、求证： $9 a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{16}{41}$ .

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l : \{\begin{matrix} x = 2 + t cos α \\ y = 1 + t sin α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $α$ 为 $l$ 的倾斜角， $l$ 与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴分别交于 $A, B$ 两点，且 $△ A B O$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求 $tan α$ ；

(2)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + (a + d) x^{2} + (a + 2 d) x + d, g (x) = a x^{2} + 2 (a + 2 d) x + a + 4 d$ ，其中 $a > 0, d > 0$ ，设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极小值点， $x_{1}$ 为 $g (x)$ 的极值点， $g (x_{2}) = g (x_{3}) = 0$ ，并且 $x_{2} < x_{3}$ ．将点 $(x_{0}, f (x_{0})), (x_{1}, g (x_{1})), (x_{2}, 0), (x_{3}, 0)$ 依次记为A，B，C，D．

(1)、求 $x_{0}$ 的值；

(2)、若四边形 $A B C D$ 为梯形且面积为1，求a，d的值．

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17、已知点P到圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线长与到y轴的距离之比为 $t (t > 0, t \neq 1)$

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、设曲线C的两焦点为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，试求t的取值范围.使得曲线C上不存在点Q，使 $∠ F_{1} Q F_{2} = θ (0 < θ < π)$ .

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18、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：

(1)、恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(2)、某煤矿不被关闭的概率；

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19、如图已知 $V C$ 是 $△ A B C$ 所在平面的一条斜线，点 $N$ 是 $V$ 在平面 $A B C$ 上的射影，且在 $△ A B C$ 的高 $C D$ 上． $A B = a$ ， $V C$ 与 $A B$ 之间的距离为 $h$ ，点 $M \in V C$ ．

(1)、证明 $∠ M D C$ 是二面角 $M - A B - C$ 的平面角；

(2)、当 $∠ M D C = ∠ C V N$ 时，证明 $V C ⊥$ 平面 $A M B$ ；

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20、（1）已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边．请用向量方法证明等式 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ；
（2）若三个正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A (0 < A < π)$ ，证明：以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为长度的三边可以构成三角形．

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