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相关试卷

1、已知变量 $x$ 与变量 $y$ 的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则下列选项正确的是（）
$x$
1
2
3
4
5
$y$
9
8
7
6
6

A、变量 $x$ 与变量 $y$ 的中位数之和为10 B、变量 $x$ 与变量 $y$ 的样本相关系数 $r > 0$ C、 $\hat{a} > 0$ D、直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必过点 $(3, 7)$

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2、三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B C D = \frac{π}{2}, A B = A D = \sqrt{2}$ ，二面角 $A - B D - C$ 的平面角为锐角，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球球心到平面ABC的距离最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = 1024, q = - \frac{1}{2}, T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的乘积.记 $T_{n}$ 取得最大值与最小值的项的个数分别为 $k$ 和 $m$ ，则（）

A、 $k = 2, m = 2$ B、 $k = 2, m = 1$ C、 $k = 1, m = 2$ D、 $k = 1, m = 1$

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4、如图，圆 $O$ 的半径为2， $P Q$ 为圆 $O$ 的直径， $A, B$ 为圆 $O$ 上的两点且 $∠ A O B = 60^{°}$ .若 $\vec{A P} \cdot \vec{B Q} = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O Q}$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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5、有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知 $A$ 和 $B$ 都不是第1名，且 $C$ 不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（）

A、42 B、50 C、54 D、60

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6、已知弧长为1cm的扇形面积是 $1 {cm}^{2}$ ，则其圆心角大小为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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7、若 $\sin (\frac{π}{6} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + x - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + x - 1 > 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + x - 1 \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + x - 1 < 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + x - 1 \leq 0$

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9、若 $z = i (2 - i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + m x$ 在定义域上不是单调函数，则实数 $m$ 不可能是（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $- 2$

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11、下列说法中错误的是（）

A、∅与 $\{0\}$ 表示同一个集合 B、集合 $M$ ＝ $\{3, 4\}$ 与 $N$ ＝ $\{4, 3\}$ 表示同一个集合 C、方程 ${(x - 1)}^{2} (x - 2)$ ＝ $0$ 的所有解的集合可表示为 $\{1, 1, 2\}$ D、集合 $\{x \in R |4 < x < 5\}$ 可以用列举法表示

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12、函数 $f (x)$ 为奇函数，且当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f (x) = - 1 + x^{2} - x^{3}$ ，则当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x)$ 解析式是（）

A、 $f (x) = 1 - x^{2} - x^{3}$ B、 $f (x) = 1 - x^{2} + x^{3}$ C、 $f (x) = - 1 - x^{2} - x^{3}$ D、 $f (x) = - 1 - x^{2} + x^{3}$

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13、如图， $△ A B C$ 内接于圆 $O, A B$ 为圆 $O$ 的直径， $C D ⊥$ 平面 $A B C, E$ 为线段 $A D$ 中点.

(1)、求证：平面 $B C E ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}, B C = 1, C D = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $B C E$ 与平面 $B D E$ 所成锐二面角的余弦值.

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14、菱形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ， $∠ A = 60^{\circ}, M$ 为 $C D$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、 $2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $4 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{13}{2}$

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15、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ .（其中 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）

(1)、求 ${[g (x)]}^{2} - {[f (x)]}^{2}$ 的值；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - k \cdot g (x) (k \in R)$ 存在零点，求k的取值范围；

(3)、设函数 $φ (x) = {[g (x)]}^{2} + a f (x) + b + 3 (a, b \in R)$ ，若对任意的 $x \in [0, \ln (4 + \sqrt{17})]$ ， $φ (x)$ 的函数值非负，求 $2 a + b$ 的最小值.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2^{| x |}} + b (a, b \in R)$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交.

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式并写出其单调性（无需证明）；

(3)、令 $g (x) = \frac{1}{2 - f (x)} - f (x)$ ，且 $g (2 x - 1) + m g (x) + \frac{1}{4} \geq 0 (m \in R)$ 对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b = 5$ ， $B = \frac{π}{4}$ .

(1)、若 $A = \frac{π}{3}$ ，求边c的值；

(2)、若 $3 a cos B + 3 b cos A = 2 \sqrt{2} a$ .
（ⅰ）求 $\frac{c}{a}$ 的值；
（ⅱ）求 $△ A B C$ 的面积.

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18、设函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、填写下表，并在给定坐标系中作出函数 $f (x)$ 在一个周期内的简图；
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
x

$f (x)$

(3)、求函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{3}) + f (x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 的值域.

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19、已知 $a \in R$ ，集合 $A = \{x |(x - 1) (x - a) = 0\}$ ， $B = \{1, 3, a^{2}\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、是否存在实数a，使得 $A \cup B = B$ ？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

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20、已知实数 $m, n$ 满足 $m > 3 n > 0$ ，则 $\frac{m^{2} - 3 m n + n^{2}}{m n - 3 n^{2}}$ 的最小值为.

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
x
$f (x)$

$x$	1	2	3	4	5
$y$	9	8	7	6	6