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相关试卷

1、下面是关于复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ 的四个命题，其中真命题是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z^{2} = 2 i$ C、 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$ D、 $z$ 的虚部为 $- 1$

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2、设非零向量 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{A C} = \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 满足， $| \overset{⃑}{a} | = | \overset{⃑}{b} |, | \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} | = | \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} |$ ，则四边形ABCD形状（）

A、平行四边形 B、矩形 C、正方形 D、菱形

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3、已知向量 $\vec{O A} = (- 3, 1)$ ， $\vec{O B} = (1, - 2)$ ， $\vec{O C} = (x - 6, x + 5)$ ，若点 $A, B, C$ 不能构成三角形，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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4、设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 对应的点位于复平面内（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、若复数 $z = m^{2} - 1 + (m^{2} - m - 2) i$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、1 D、 $- 2$

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6、下列说法正确的是（）

A、若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B、两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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7、某高校数学系为了控制大一学生上课使用手机，针对上课使用手机情况，进行量化比，若发现上课使用手机则扣除其对应的积分，根据调查发现每次被扣分数与本系大一学生每周上课使用手机人数的关系如下表所示：
每次被扣分数x（单位：分）
0
2
5
8
10
每周上课使用手机人数y（单位：次）
50
25
20
15
10

(1)、试根据以上数据，建立y关于x的回归直线方程（结果保留一位小数）；

(2)、根据上述回归直线方程分析：每次扣分为多少时（精确到整数分），该系大一新生被扣分的总数最大；

(3)、若学校规定，大一新生每学期（按20周上课计算）因为上课使用手机被扣分总数不超过1000分，则该系大一被定为控制手机合格，那么，每周上课使用手机至少扣多少分时（扣分不低于5分，精确到整数），数学系才能被定为控制手机合格？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$

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8、“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为.

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9、已知随机变量 $X \sim N (- 2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq - 1) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (X \leq - 3) =$

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10、某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 $X$ 的概率分布为
$X$
1
2
3
4
$P$
$0.5$
$0.2$
$0.2$
$0.1$
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若 $Y$ 表示经销一件该商品的利润，则 $E (Y) =$ 元．

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11、有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为 $a$ ， $b$ ，若事件“点 $P (a, b)$ 恰好落在直线 $x + y = n$ 上”对应的随机变量为 $X$ ， $P (X = n) = P_{n}$ ， $X$ 的数学期望和方差分别为 $E (X)$ ， $D (X)$ ，则（）

A、 $P_{6} = 3 P_{4}$ B、 $P (5 \leq X \leq 7) = \frac{7}{9}$ C、 $E (X) = 5$ D、 $D (X) = \frac{4}{3}$

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12、已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
1
2
$P$
$a$
$b$
则 $E (X) = \frac{4}{3}$ 是 $D (X) = \frac{2}{9}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、 $(x^{2} + 2 x + 3) {(2 x + 1)}^{6}$ 的展开式中，x²的系数是（）

A、250 B、520 C、205 D、502

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14、设离散型随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
若随机变量 $Y = X - 2$ ，则 $P (Y = 2)$ 等于（　　）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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15、根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的观测数据，计算得到 $χ^{2} = 3 .974$ .依据 $α = 0 .05$ 的独立性检验，结论为（）
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

A、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .01$ B、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .05$ C、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .05$ D、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过 $0 .01$

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16、设 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $\sqrt{a_{n} \cdot a_{n + 2}} = a_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，且 $2 S_{n + 1} = S_{n} + 2$ .
①求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
②已知首项为 $x_{1}$ ，公比 $q$ 满足 $|q| < 1$ 的无穷等比数列 $\{x_{n}\}$ ，当 $n$ 无限增大时，其前 $n$ 项和无限趋近于常数 $\frac{x_{1}}{1 - q}$ ，则称该常数为无穷等比数列 $\{x_{n}\}$ 的各项和.现从数列 $\{a_{n}\}$ 中抽取部分项构成无穷等比数列 $\{b_{n}\}$ ，且 $\{b_{n}\}$ 的各项和不大于 $\frac{1}{15}$ ，求 $b_{1}$ 的最大值.

(2)、若 $\sqrt{a_{n} \cdot a_{n + 2}} \geq a_{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 都成立，试证明： ${(a_{1} a_{n + 2})}^{\frac{1}{2}} \geq {(a_{2} a_{3} \dots a_{n + 1})}^{\frac{1}{n}}$ .

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有棱长都相等， $A B ⊥ A D$ ， $E ， F$ 分别是棱 $P C$ ， $P B$ 的中点， $G$ 是棱 $A B$ 上的动点，且 $\vec{A G} = λ \vec{A B}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $G F$ $//$ 平面 $B D E$ .

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $P D G$ 夹角余弦值的最大值.

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 ln x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) - \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值．

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19、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左右焦点，过 $F_{1}$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线与椭圆 $C$ 在第二象限交于点 $M$ ，且 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = - \frac{3}{5}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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20、对于函数 $y = f (x)$ ，如果对于其定义域 $D$ 中任意给定的实数 $x$ ，都有 $- x \in D$ ，并且 $f (x) \cdot f (- x) = 2$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“比翼函数”.则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = x + \sqrt{x^{2} + 2}$ 是“比翼函数” B、若函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上为“比翼函数”，则 $f (0) = \sqrt{2}$ C、若函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上为“比翼函数”，当 $x > 0$ ， $f (x) = \frac{2}{2^{x} + x^{2}}$ ，则 $x < 0$ ， $f (x) = 2^{- x} + x^{2}$ D、若函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在 $R$ 上是单调递减函数，记 $H (x) = \frac{2}{f (x)} - f (x)$ ，若 $H (x_{1}) + H (x_{2}) > 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$

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每次被扣分数x（单位：分）	0	2	5	8	10
每周上课使用手机人数y（单位：次）	50	25	20	15	10

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

$X$	1	2	3	4
$P$	$0.5$	$0.2$	$0.2$	$0.1$

$X$	1	2
$P$	$a$	$b$

X	0	1	2	3	4
P	0.15	0.15	0.15	0.25	m