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相关试卷

1、函数 $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的单调递增区间为.

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2、函数 $y = \log_{a} (2 x - 1) + 3$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标是.

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3、 $i$ 是虚数单位，若 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ .

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4、某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A、直方图中x的值为0.035 B、在被抽取的学生中，成绩在区间 $[70, 80)$ 的学生数为30人 C、估计全校学生的平均成绩为83分 D、估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分

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5、若向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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6、计算 ${(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - {log}_{2} 8$ 的结果是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7、 $cos 17^{\circ} cos 43^{\circ} + sin 17^{\circ} sin 223^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、下列函数中是奇函数的是

A、 $y = \log_{3} x$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ D、 $y = 2 x$

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9、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[- 2, 0) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, + \infty)$

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10、 $\sin 600 °$ 的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知集合 $A = \{1, 2, 4\}, B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 4\}$ B、 $\{0, 1, 2, 4\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 + 4 m i$ ， $(m \in R, i$ 是虚数单位 $)$ .

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面上对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c + b = 2 a cos B$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 1$ ， $sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的值；

(3)、求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围.

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14、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°.

(1)、求 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b})$ 的值

(2)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ 的值；

(3)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 3 \vec{b}$ 平行，求实数 $λ$ 的值．

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15、下列式子化简正确的是（）

A、 $cos 17^{\circ} cos 13^{\circ} - sin 17^{\circ} cos 77^{\circ} = \frac{1}{2}$ B、 $cos 15^{\circ} cos 60^{\circ} cos 75^{\circ} = \frac{1}{8}$ C、 $\sqrt{3} cos 15^{\circ} - sin 15^{\circ} = \sqrt{2}$ D、 $\frac{1 + tan 15^{\circ}}{1 - tan 15^{\circ}} = \sqrt{3}$

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16、已知四棱锥P-ABCD， $A D // B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 3$ ， $D E = P E = 2$ ， E是 $A D$ 上一点， $P E ⊥ A D$ ．

(1)、若F是PE中点，证明： $B F //$ 平面 $P C D$ ．

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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17、给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[n, m]$ 阶帕德逼近定义为 $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{m} x^{m}}$ ，且满足 $f (0) = R (0), f^{'} (0) = R^{'} (0), \dots, f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ （注： $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 为 $f^{'} (x)$ 的导函数， $f^{(3)} (x)$ 为 $f^{″} (x)$ 的导函数，以此类推）.已知函数 $f (x) = ln (x + 1)$ .

(1)、记 $R (x)$ 为 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[1, 1]$ 阶帕德逼近，判断函数 $g (x) = f (x) - R (x)$ 的单调性；

(2)、 $\forall x \geq 0, a (x + 1) f (x) \leq x^{2} + 2 x$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求证： $\forall n \in N^{*} \cdot {(\frac{n! \cdot e^{n}}{n^{n} \cdot \sqrt{n}})}^{4} > {[\frac{(n + 1)! \cdot e^{n + 1}}{{(n + 1)}^{n + 1} \cdot \sqrt{n + 1}}]}^{4} > e^{3}$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

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18、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n} a_{n + 1}^{2} - 2 (a_{n}^{2} - 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0, n \in N^{*}$
（1）设 $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式
（2）设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}, T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}^{2}}$ ，求 $S_{n} + T_{n}$ ，并确定最小正整数 $n$ ，使得 $S_{n} + T_{n}$ 为整数．

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $M, N$ 两点.

(1)、若线段 $M N$ 的中点坐标为 $(\frac{5}{2}, 1)$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、当 $l$ 过点 $F$ 时，过点 $M, N$ 分别作直线 $l^{'} : x = \frac{3}{2}$ 的垂线，垂足分别为 $M^{'}, N^{'}$ ，且直线 $M N^{'}$ ， $M^{'} N$ 交于点 $P$ ，求 $△ M P N$ 面积的最小值.

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20、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}, A D = 2 A B = 2 B C = \frac{2}{3} C_{1} C = 2$ ，点 $M$ 的线段 $C_{1} D$ 上.

(1)、是否存在点 $M$ ，使得 $C_{1} D ⊥$ 平面 $A C M$ ？若存在求 $C_{1} M$ ；若不存在，请说明理由；

(2)、若平面 $C_{1} A C$ 里平面 $A C M$ 夹角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $\frac{C_{1} M}{C_{1} D}$ 的值.

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