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相关试卷

1、设实数 $k > 0$ ，对于任意的 $x > 1$ ，不等式 $k e^{k x} \geq \ln x$ 恒成立，则k的最小值为．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = - 2 n^{2} + 3 n + 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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3、抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程是（）

A、 $y = 2$ B、 $y = - 2$ C、 $y = 1$ D、 $y = - 1$

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4、函数 $sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ 与函数 $cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ 分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．

(1)、判断函数 $f (x) = sinh x$ 与函数 $g (x) = cosh x$ 的奇偶性，并加以证明；

(2)、我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$
$sinh 2 x = 2 sinh x \cdot cosh x$
$cosh 2 x = {cosh}^{2} x + {sinh}^{2} x = 2 {cosh}^{2} x + 1 = 1 + 2 {sinh}^{2} x$
……
①请你用 $cosh x, cosh y, sinh x$ 与 $sinh y$ 表示 $cosh (x + y)$ 和 $sinh (x + y)$ （不要求证明）．
②若 $coth x = \frac{cosh x}{sinh x}$ ，求证： $coth (x + y) = \frac{1 + coth x coth y}{coth x + coth y}$ ．
③定义 $x \otimes y = \frac{1 + x y}{x + y}$ ，求 $(((2 \otimes 3) \otimes 4) \otimes \dots) \otimes 11$ 的值．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x (x - 4), & x \geq 0, \\ x (x + 4), & x < 0 . \end{matrix}$

(1)、求 $f (1), f (- 3), f (a + 1)$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (x) \geq x$ 的解集．

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6、设函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}), f (- \frac{5 π}{12}) = - 1, f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减．

(1)、求 $ω, φ$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = sin x$ 的图象经过怎样的变换得到？

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7、若 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{sinπ x}{x^{2} - x}$ ，给出下列四个结论，正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在无数个零点 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最大值 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上是单调递减函数 D、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形

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9、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = e^{x}$ 的图象上两个不同的点，则（）

A、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} > 0$ B、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ C、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < x_{1} + x_{2}$

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10、下列化简中，正确的是（）

A、 $\cos 10 ° - \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ B、 $\cos 10 ° + \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ C、 ${(\sin 10 ° + \cos 10 °)}^{2} = 1 + \sin 20 °$ D、 $\tan 20 ° + \tan 40 ° + \sqrt{3} \tan 20 ° \tan 40 ° = \sqrt{3}$

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11、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝ $\frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）

A、8100 B、900 C、81 D、9

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12、 $x \in [0, 2 π]$ 时，函数 $y = sin x$ 与 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13、若“ $\exists x \in [1, 4]$ ，使得 $2 x + a + 1 \geq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 9)$ B、 $(- \infty, - 3)$ C、 $(- 9, - \infty)$ D、 $(- 3, - \infty)$

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14、已知三个函数 $f (x) = 2^{x} + x$ ， $g (x) = x - 1$ ， $h (x) = \log_{2} x + x$ 的零点依次为a，b，c，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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15、已知 $\cos θ \cdot \tan θ > 0$ ，那么 $θ$ 是（）

A、第一、二象限角 B、第二、三象限角 C、第三、四象限角 D、第一、四象限角

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16、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = ln x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = 3^{|x - 1|}$

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17、若集合 $A = \{(x, y) |x + y = 0\}, B = \{(x, y) |2 x - y = 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, - 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{(1, - 1)\}$ D、 $\{(- 1, 1)\}$

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18、日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知 $1 t$ 水净化到纯净度为 $x %$ 时所需费用 $($ 单位：元 $)$ 为 $c (x) = \frac{4000}{100 - x} (80 < x < 100),$ 那么净化到纯净度为 $95 %$ 时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.

A、 $120$ B、 $160$ C、 $- 160$ D、 $- 100$

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19、从4名男同学、3名女同学中选3名同学组成一支志愿者小队，要求男、女都有，则不同的组队方案共有（）

A、60种 B、50种 C、40种 D、30种

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20、已知m、n是两条不同直线， $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$

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