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相关试卷

1、已知 $sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + x) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$

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2、为了得到函数 $y = 2 sin (3 x + \frac{π}{5})$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin 3 x$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x (a \in R)$ ．

(1)、若 $x = 3$ 为 $y = f (x)$ 的一个极值点，求 $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值和最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \sin x (\sin x + \cos x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、如果函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的零点从小到大排列后构成数列 $\{a_{n}\}$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的前20项和．

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5、设函数 $f (x) = \ln x - m x^{2}$ ， $m \in R$ ，若对任意 $0 < a < b$ ， $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} > 1$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为．

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6、在正四面体 $A B C D$ 中，点M在 $B C$ 上，且 $B M = 2 C M$ ，则异面直线 $A M$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为.

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7、设曲线 $y = \sin (2 a x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 平行，则a为．

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8、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义： $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 12 x + \frac{49}{6}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{137}{6}$ B、 $f (x)$ 有且仅有2个零点 C、点 $(\frac{1}{2}, 2)$ 是 $f (x)$ 的对称中心 D、 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{2}{2025}) + f (\frac{3}{2025}) + \cdot \cdot \cdot f (\frac{2024}{2025}) = 4048$

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9、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = \frac{a_{n}^{2} + 1}{2 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $S_{1} = 1$ B、 $\sqrt{S_{n}} - \sqrt{S_{n - 1}} = 1 (n \geq 2)$ C、 $a_{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1}$ D、 $0 < a_{n} \leq 2$

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10、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 C、若空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角 D、若已知空间向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$

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11、下列命题正确的是（）

A、若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为 $s (t) = \frac{2}{t}$ ，则该质点在 $t = 3$ 秒时的瞬时速度为 $\frac{2}{9}$ 米/秒 B、命题“ $\forall x \geq 0, e^{x} \geq \sin x$ ”是真命题 C、设函数 $φ (x)$ 的导函数为 $φ^{'} (x)$ ，且 $φ (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} φ^{'} (1) - x$ ，则 $φ^{'} (1) = 1$ D、已知函数 $h (x)$ 在R上可导，若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{h (1 + Δ x) - h (1)}{2 Δ x} = 2$ ，则 $h^{'} (1) = 2$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d = 1$ ，且 $a_{3}, a_{5} + 1, 2 a_{6}$ 成等比数列，则数列 $\{{(- 1)}^{n + 1} a_{n}\}$ 的前2025项和为（）

A、 $- 1013$ B、 $- 505$ C、505 D、1013

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13、已知空间向量 $\vec{A B} = (2, - 1, 3)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{14}$ C、2 D、14

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14、某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；

(3)、在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.

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15、已知直线 $l_{1} : x + y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - 3 y + 1 = 0$ 相交于点 $C$ ，以 $C$ 为圆心的圆过点 $A (0, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $B (4, 5)$ 的圆 $C$ 的切线方程.

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16、已知点 $A (- 1, 0), B (0, 2)$ ，过 $P (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是.

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $2$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $|A B| = 8$ ，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $4$ B、过点 $(0, 1)$ 与抛物线 $C$ 有且仅有一个公共点的直线至多有 $2$ 条 C、 $P$ 是准线上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\vec{F P} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $|F P| = 6$ D、 $9 |A F| + |B F| \geq 16$

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18、直线 $x - \frac{2 y}{3} = 2$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- 3$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 m) x + 3 m, x < 1 \\ x^{2}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为R ，则m的取值范围是．

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20、定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁ ， x₂∈R，都有f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ） $\leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

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