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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 2 a f (x) - e^{2} - a e$ 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - e)$ B、 $(- e, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e}, 0)$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{3} + a_{6} + a_{9} + \dots + a_{3 n} = \frac{3}{4} n (n + 1) (n \in N_{+})$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、若函数 $f (x) = \frac{1}{\tan x}$ ，则导函数 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $\frac{1}{\sin^{2} x}$ B、 $\frac{1}{\cos^{2} x}$ C、 $- \frac{1}{\sin^{2} x}$ D、 $- \frac{1}{\cos^{2} x}$

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4、已知函数 $f (x) = \ln (x + a)$ .
（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（2）当 $a = 1$ 时，求函数 $F (x) = x - \frac{1}{2} t x^{2} - f (x) (t \in R)$ 的单调区间；
（3）当 $a = 0$ 时，函数 $y = g (x)$ 的图像与 $y = f (x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称.若不等式 $[k \cdot g (x) - 1] \cdot x \geq f (x) + 1$ 对 $x > 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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5、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，一个焦点 $F$ 的坐标为 $(2, 0)$ .
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）设直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = \frac{1}{3}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

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6、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 夹角的余弦值．

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7、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = - 5$ ， $S_{5} = - 20$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最小值．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{2 x}} + 2 x^{2}$ ， $g (x) = 4 m - ln x$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq x g (x)$ 有解，则 $m$ 的最小值是.

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9、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 2 a = 0$ 有3个实数解，则实数 $a$ 的取值范围为．

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10、若直线 $x + y + 2 a = 0$ 与曲线 $y = x - 2 \ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为.

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11、一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 $h$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的函数关系为 $h (t) = 2 t^{2} + 2 t$ ，则下列说法正确的是（）

A、前 $3 s$ 内球滚下的垂直距离的增量 $Δ h = 20 m$ B、在时间 $[2, 3]$ 内球滚下的垂直距离的增量 $Δ h = 12 m$ C、前 $3 s$ 内球在垂直方向上的平均速度为 $8 m / s$ D、第 $2 s$ 时刻在垂直方向上的瞬时速度为 $10 m / s$

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12、若函数 $f (x) = 2 x^{2} - ln x$ 在其定义域的一个子区间 $(k - 1, k + 1)$ 内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）

A、 $[1, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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13、若函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 2 a ln x$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} a x^{2} + 1$ 的极小值为 $\frac{1}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、1或 $- 1$ D、0

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15、若 $l$ $∥$ $α$ ，且 $\vec{m} = (2, 2 t, 1)$ 为直线 $l$ 的一个方向向量， $\vec{n} = (1, \frac{1}{2}, 2)$ 为平面 $α$ 的一个法向量，则 $t$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $- 8$ C、 $- 6$ D、 $- 4$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、－1 C、－2 D、0

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 10$ ， $a_{6} = 5$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、0 B、5 C、10 D、15

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $3 \vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} = (- 3, - 4)$ ， $\vec{b} / / (\vec{a} + \vec{c})$ ，求 $3 \vec{b} + \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若D是 $△ A B C$ 边 $A C$ 上的一点， $∠ A B C = \frac{2}{3} π$ 且 $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B D}}{|\vec{B A}|} = \frac{\vec{B D} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|}$ ， $4 a + c = 6$ 则 $B D$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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20、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体积是（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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