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相关试卷

1、设函数 $f (x) = (x^{3} - x) \ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x) \geq 0$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增 D、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点

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2、已知复数 $ω = \cos 120 ° + i \sin 120 °$ （ $i$ 是虚数单位），则（）

A、 $|ω| = 1$ B、 $ω^{2} = \bar{ω}$ C、 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ D、 $\frac{1}{ω^{2}} + \frac{1}{ω} = 1$

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3、若 $\sin x + \cos x = 2 \sin α$ ， $\sin x \cos x = \sin^{2} β$ ，则（）

A、 $4 \cos^{2} 2 α = \cos^{2} 2 β$ B、 $\cos^{2} 2 α = 4 \cos^{2} 2 β$ C、 $4 \cos 2 α = \cos 2 β$ D、 $\cos 2 α = 4 \cos 2 β$

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4、设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数.若函数 $g (x) = f (x) + 5$ ， $f (4) = 9$ ，则 $g (- 4) =$ （）

A、27 B、28 C、29 D、30

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5、定义“真指数” $e_{+}^{x} = \{\begin{array}{l} 1, x < 0, \\ e^{x}, x \geq 0 \end{array}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $e_{+}^{x_{1} + x_{2}} = e_{+}^{x_{1}} \cdot e_{+}^{x_{2}}$ B、 $e_{+}^{x_{1} - x_{2}} = \frac{e_{+}^{x_{1}}}{e_{+}^{x_{2}}}$ C、 $e_{+}^{x_{1}} + e_{+}^{x_{2}} \geq 2 e_{+}^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$ D、 $e_{+}^{x_{1} x_{2}} \leq {(e_{+}^{x_{1}})}^{x_{2}}$

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6、已知 $A \in R$ ， $ε$ 为任意正数，若 $|A - 6| \leq ε$ 恒成立，则（）

A、 $A = 6$ B、 $A = \pm 6$ C、 $A > 6$ D、 $A < 6$

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7、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = n$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} = n$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} {|x_{i} - x_{1}|}^{2} = 0$

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8、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 2$ ， $a_{1} - a_{3} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 2)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 7$

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10、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x| x^{2} - x = 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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11、某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中： $100 \leq m \leq 400$ ，得到频率分布并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值m
50≤m<350
100≤m<150或350≤m≤400
等级
A级
B级

(1)、根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的中位数；

(2)、从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.

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12、设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（I）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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13、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $E, F$ 分别为 $P A, C D$ 的中点．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B F$ ；

(2)、若 $P A = A B = 1, B C = 2$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值．

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4} - 1$ 的等差中项，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

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16、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n |\cos \frac{n π}{3}|$ ，在 $a_{n}, a_{n + 1}$ 中插入n个2，按照原有顺序构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前480项和为．

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17、已知夹角为 $60^{\circ}$ 的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ， $(2 \vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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18、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 C、 $S_{2 n} \geq 4 n$ D、 $T_{n + 2} = (S_{n + 2} + S_{n}) T_{n}$

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19、下列函数求导运算正确的是（）

A、 ${({log}_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 3}$ B、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{'} = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(sin 2 x)}^{'} = 2 cos 2 x$ D、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{(x + 1) e^{x}}{x^{2}}$

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20、已知点 $A (4 + k, 0)$ ， $B (k, 3)$ ，若以 $C (25, 20)$ 为圆心，5为半径的圆与线段 $A B$ 的垂直平分线相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{123}{8}$ B、 $\frac{23}{8}$ 或 $\frac{123}{8}$ C、 $\frac{23}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$ 或 $\frac{123}{8}$

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质量指标值m	50≤m<350	100≤m<150或350≤m≤400
等级	A级	B级