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相关试卷

1、已知 $f (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}]$ D、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到

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2、某物理量的测量结果服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $σ$ 越小，该物理量在一次测量中落在 $(9.9, 10.1)$ 内的概率越大 B、该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C、该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D、该物理量在一次测量中结果落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(10, 10.3)$ 的概率相等

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3、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于原点对称，若直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4、已知直线 $a, b$ 分别在两个不同的平面 $α, β$ 内，则“直线 $a$ 和直线 $b$ 平行”是“平面 $α$ 和平面 $β$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、 $\tan 195 ° =$ （）

A、 $- 2 - \sqrt{3}$ B、 $- 2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3), \vec{a} - \vec{b} = (2, - 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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7、已知集合 $A = \{x| 0 < x^{2} < 3\}, B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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8、已知函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - a e^{x}$ 有且只有两个极值点，记极值点为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $\frac{1}{e} < a < 1$ B、 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随 $a$ 的增大而减小 C、 $x_{1} + x_{2}$ 随 $a$ 的增大而减小 D、 $x_{1} x_{2}$ 随 $a$ 的增大而增大

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9、设定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $e^{x - 1} f (x) < f (2 x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, e)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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10、若 $C_{13}^{x} = C_{13}^{2 x + 1} (x \in N^{*})$ ，则 $A_{5}^{x} =$ （）

A、5 B、20 C、60 D、120

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11、如图，四棱锥 $P - A C D B$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 4$ ， $C$ ， $D$ 是平面 $A B C$ 内以 $A B$ 为直径的半圆的三等分点．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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12、已知双曲线 $C$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，点 $P$ 在双曲线上且满足 $P F ⊥ x$ 轴，若 $|P F| = 3$ ，则双曲线 $C$ 的实轴长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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13、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下顶点为 $A$ ，左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆上的点 $M$ 到 $F_{1}$ 距离的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ，且抛物线 $C_{2} : y = x^{2} - 1$ 截 $x$ 轴所得的线段长为 $C_{1}$ 的长半轴长．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过原点的直线 $l$ 与 $C_{2}$ 相交于B，C两点，直线AB，AC分别与 $C_{1}$ 相交于P，Q两点．
① 证明：直线AB与直线AC的斜率之积为定值；
② 记 $△ A B C$ 和 $△ A P Q$ 的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值．

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14、已知数列 ${a_{n}}$ 满足，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ，设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ．

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = \frac{b_{n + 1}}{(b_{n} - 1) \cdot (b_{n + 1} - 1)}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若不等式 $2 (2^{n + 1} - 1) T_{n} < λ + b_{n}^{2}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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15、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD为长方形，侧面 $△ S A D$ 是等边三角形，平面 $S A D ⊥$ 平面ABCD

(1)、若E为棱SB的中点， $P$ 为棱AD的中点，求证： $P E / /$ 平面SCD

(2)、 $A B = 1$ ，异面直线SB，AD夹角的余弦为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
①求棱AD的长度；
②在棱SA上是否存在点 $M$ ，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ？若存在，指出点 $M$ 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

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16、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a (1 - \cos C) = b - c \cos A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 是边BC上， $\vec{C D} = \vec{D B}$ ，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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17、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x - 5) e^{x}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的斜率为 $e$ ，求实数 a 的值.

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18、在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = A B = 3$ ， $A C = 3 \sqrt{2}$ ，在四面体 $A B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的半径为 $M$ ， $N$ 分别是 $△ A B C$ ， $△ A C D$ 的重心，直线 $M N$ 与球 $O$ 的表面相交于 $E$ ， $F$ 两点，则线段 $E F$ 的长度为

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19、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ .这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数 $m = 6$ ，根据上述运算法则得出 $6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ ，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列 ${a_{n}}$ 满足冰雹猜想，其递推关系为： $a_{1} = m$ （ m 为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{1}{2} a_{n}, & 当 a_{n} 为偶数时， \\ 3 a_{n} + 1, & 当 a_{n} 为奇数时， \end{matrix}$ 若 $a_{4} = 2$ ，则 m 所有的可能取值为

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20、已知曲线 $y = ln x + x + 1$ ，则该曲线在 $x = 1$ 处的切线方程为

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