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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z + i} = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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2、已知集合 $A = \{x | y = lg (x + 1)\}$ ， $B = \{x | - 2 < x < 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 5)$ B、 $(- 2, 5)$ C、 $(- 1, + \infty)$ D、 $(5, + \infty)$

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3、已知定义在 $D$ 上的函数 $y = F (x)$ 的图像上存在 $A$ ， $B$ 两点，记直线 $A B$ 的方程为 $y = G (x)$ ，若直线 $A B$ 恰为曲线 $y = F (x)$ 的一条切线（ $A$ ， $B$ 为切点），且对 $D$ 上的任意的 $x$ ，均有 $F (x) \geq G (x)$ ，则称函数 $y = F (x)$ 为“切线支撑”函数.

(1)、试判断函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x - 2 {cos}^{2} x$ 是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点 $A$ ， $B$ ；否则，请说明理由；

(2)、证明：函数 $h (x) = 2 x + sin 3 x$ 为“切线支撑”函数；

(3)、已知 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x - ln x, x > 0, \\ x^{2}, x < 0, \end{array}$ 为“切线支撑”函数，求实数 $a$ 的取值范围

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $P_{1} (\frac{1}{2}, 1)$ 在 $C$ 上， $k$ 为常数， $k > 0$ ，按如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4, \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $Q_{n - 1}$ ，过 $Q_{n - 1}$ 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的另一个交点为 $P_{n}$ .记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ .

(1)、当 $k = 2$ 时，求 $x_{2}, y_{2}$ ；

(2)、设 $a_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(3)、设 $S_{n}$ 为 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积，证明： $S_{n}$ 为定值.

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5、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $O A$ ， $O B$ 是底面半径， $∠ A O B = 120 °$ ， $M$ 为劣弧 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $O A / /$ 平面 $P M B$ ；

(2)、若圆锥底面半径为1，高 $O P$ 为2，求平面 $A P M$ 与平面 $B P M$ 所成锐二面角的余弦值.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $c sin C - b sin B = a (sin A - sin B) .$

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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7、过点 $P (- 1, 0)$ 向曲线 $C_{n}$ ： $x^{2} - 2 n x + 2 y^{2} = 0$ （ $n$ 为正整数）引斜率为 $k_{n} (k_{n} > 0)$ 的切线 $l_{n}$ ，切点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $k_{n} = \frac{n}{\sqrt{4 n + 2}}$ B、 $\sum_{i = 1}^{2025} ln x_{i} = - ln 2026$ C、数列 $\{\frac{y_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + n$ D、 $\frac{x_{n}}{\sqrt{2} y_{n}} + cos (\sqrt{\frac{1 - x_{n}}{1 + x_{n}}}) > 1$

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8、为了研究某种商品的广告投入 $x$ 和收益 $y$ 之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.28$ ，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为（）万元．
$x$ /万元
1
2
3
4
5
$y$ /万元
0.50
0.80
1.00
1.20
1.50

A、2.48 B、2.58 C、2.68 D、2.88

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9、若复数 $z = \frac{3 + 4 i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位），则（）

A、 $z$ 在复平面对应的点位于第四象限 B、 $\bar{z} = 4 - 3 i$ C、 $z - \bar{z} = 6 \times 6 - 6 i$ D、 $z \cdot \bar{z} = 5$

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10、已知正四棱锥的侧棱长为 $3 \sqrt{3}$ ，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于.

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11、某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为 $6 %, 5 %, 4 %$ ，假设这三条生产线产品产量的比为 $2 : 3 : 5$ ，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为.

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12、如图， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $C_{2}$ ： $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的公共焦点，A、B分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 在第二、四象限的公共点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形，则 $C_{1}$ 的离心率是.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3^{n} - 28$ （ $n$ 为正整数），则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值为.

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14、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角大小为.

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15、设复数 $z = cos θ + i \cdot sin θ$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z - 2 i|$ 的最大值为.

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16、二项式 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中的常数项为.（用数字作答）

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17、已知集合 $A = \{x |ln x > 1\}$ ， $B = \{x |y = \sqrt{25 - x^{2}}, x \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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18、已知 $cos α = - \frac{2}{3}$ ，则 $sin (2 α - \frac{π}{2}) =$ .

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19、函数 $y = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为.

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20、不等式 $\frac{x}{x - 2} \leq 0$ 的解集为.

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$x$ /万元	1	2	3	4	5
$y$ /万元	0.50	0.80	1.00	1.20	1.50