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1、 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} B^{'} / / x^{'}$ 轴， $A^{'} C^{'} / / y^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = A^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（　　）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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2、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，若向量 $\vec{m} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}} (k \in R)$ 与向量 $\vec{n} = \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}$ 共线，则 $k =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3、“ $α = β$ ”是“ $cos α = cos β$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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4、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ， $M (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ，在椭圆 $E$ 上，

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $n$ 交椭圆 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，AB的中点坐标为 $(1, - \frac{1}{2})$ ，求直线 $n$ 的方程；

(3)、直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $4 k^{2} + 3 = 4 m^{2}$ ，求证： $△ O P Q$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为定值.

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5、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为平行四边形， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 45^{°}$ ， $A B = 2 A_{1} A = \sqrt{2} B_{1} C_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} B C$

(1)、证明：平面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $C D D_{1} C$ 所成角的大小

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6、已知点 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点， $P$ 为 $C$ 上一点， $A (0, 1)$ ，则 $|P A| + |P F|$ 的最小值是.

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7、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的点到直线 $4 x - 3 y + 25 = 0$ 的距离的最小值是．

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8、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一点（包括边界），则以下说法正确的是（）

A、若点 $F$ 为下底面 $A B C D$ 内一点（包括边界），则 $E F$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A E = \sqrt{5}$ ，则 $C_{1} E$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ C、若 $E ､ F$ 分别为 $C C_{1} ､ B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、若点 $E$ 到直线 $B B_{1}$ 的距离是它到直线 $C_{1} D_{1}$ 距离的2倍，则点 $E$ 的轨迹是双曲线的一部分

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $(2, 0)$ 是椭圆 $C$ 的一个顶点 B、 $(0, 1)$ 是椭圆 $C$ 的一个焦点 C、椭圆 $C$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ D、椭圆 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$

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10、若方程 $\frac{x^{2}}{m + 4} + \frac{y^{2}}{m - 7} = 1$ 表示双曲线，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < - 7$ 或 $m > 4$ B、 $- 7 < m < 4$ C、 $m < - 4$ 或 $m > 7$ D、 $- 4 < m < 7$

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11、直线 $l$ ： $x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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12、当一个函数 $f (x)$ 有如下性质：若 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有意义且该区间为 $f (x)$ 的单调区间，并且此时 $f (x)$ 的值域为 $[c, d]$ ，当 $d - c = b - a$ 时，我们就称函数 $f (x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”．请回答下列问题：

(1)、当 $f (x) = 2^{x}$ 时， $f (x)$ 是否是区间 $[0, 1]$ 上的“神奇函数”？若是，请证明；若不是，请说明原因；

(2)、当函数 $f (x) = x^{2}$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”，求 $a$ 的最小值和 $b$ 的最大值；

(3)、当 $f (x) = x^{2} - m x + m$ 时，存在区间 $[a, b] \subseteq [0, 1]$ ，使得函数 $f (x)$ 为区间 $[a, b]$ 上的“神奇函数”，求 $m$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2^{1 - x}}{2^{x} + 2^{- x}}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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14、已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x \leq 2\}$ ，集合 $B = \{x |2 m - 1 \leq x \leq m + 2\}$ ，

(1)、若 $m = 1$ ，求 $(∁_{R} B) \cap A$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求 $m$ 的取值范围．

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ ，满足 $f (0) = 0, f (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上是增函数．

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16、求值：

(1)、 $- 2 \log_{\frac{1}{3}} 2 + \log_{3} \frac{9}{32} + \log_{3} 8$ ；

(2)、若 $x = \log_{a} 2 (a > 0, a \neq 1)$ ，求 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ ．

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17、函数 $f (x) = |x^{2} - 3 x|$ 的单调递增区间是．

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18、命题 $p :$ “ $\exists x > 0$ ，使得 $x^{2} - 7 x + 12 > 0$ ”的否定为：．

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19、已知 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1}$ 有最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $(1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{y})$ 有最小值为25 D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = 2^{a |x|}$ ，则下列说法正确的有（）

A、存在实数 $a$ 和 $x$ 使得 $f (x) < 0$ B、当实数 $a > 0$ 时 $f (x)$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上单调递增 C、对任意实数 $a$ ，函数 $f (x)$ 的图像恒过定点 $(0, 1)$ D、对任意小于0的实数 $a$ ，方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 都有两实数解

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