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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l : \frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ 是椭圆 $C$ 的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当 $P$ 在圆外时，其极线 $l$ 是椭圆从点 $P$ 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知 $P$ 是直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 引两条切线，切点分别为 $M, N$ ，直线 $M N$ 恒过定点 $T$ ，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，直线 $M N$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $x + 2 y + 4 = 0$ C、 $2 x - y - 4 = 0$ D、 $2 x + y - 4 = 0$

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2、已知 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{2}$ 的值为（）

A、 $60$ B、 $80$ C、 $84$ D、 $120$

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3、在复平面内，复数 $z = (sin α - 2 sin β) + (cos α - 2 cos β) i$ （i为虚数单位）与点 $Z (\sqrt{3}, 1)$ 对应，则 $cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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4、在公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{s} + a_{t} = 2 a_{3}$ ，则 $\frac{4}{s} + \frac{1}{t}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{2 + i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6、设集合 $M = \{y |y = 2 x, x \in [- 1, 1]\}$ ， $N = \{x |y = \log_{2} (1 - x)\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $[- 2 ， 1]$

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7、已知函数 $f (x) = a ln x - x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $m \leq x^{2} e^{x} + 1 - x - 2 \ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

(3)、 $n$ 为正整数，当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(n, f (n))$ 处的切线记为 $L_{n}$ ，直线 $L_{n}$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标记为 $y_{n}$ ，证明： $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{n} \leq \frac{n^{2} - 5 n}{2}$ ．

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8、将6个不同的小球放入编号分别为 $1, 2, 3$ 的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）

(1)、求共有多少种不同放法；

(2)、当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；

(3)、当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；

(4)、若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？

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9、某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“ $A$ 通识过关— $B$ 综合拓展— $C$ 创新提升”三层动态原库，且 $A, B, C$ 三层题量之比为 $7 : 3 : 2$ ，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.

(1)、现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自 $B$ 层的概率；

(2)、现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到 $A$ 层题的题数为 $X$ ，求 $X$ 的分布与期望 $E (X)$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} - 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{2 n - 1} \cdot b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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11、将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列 ${a_{n}}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{69} =$ .

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12、若函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2}$ 有唯一一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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13、某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为．

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14、已知 $(x + 1) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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15、甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{16}{81}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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16、将函数 $y = x^{3} + 16$ 的图象绕坐标原点顺时针旋转 $θ$ 后第一次与 $x$ 轴相切，则 $\tan θ =$ （）

A、 $8$ B、 $4$ C、 $12$ D、 $5$

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17、人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为 $M$ 市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中 $x$ 为月份代号， $y$ （单位：万台）为AI电脑的月销量.
月份
2024年11月
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
月销量 $y$
0.5
0.9
1
1.2
1.4
经过分析， $y$ 与 $x$ 线性相关，且其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.21 x + \hat{a}$ ，则2025年3月的残差为（）（实际值与预计值之差）

A、 $- 0.04$ B、 $- 0.02$ C、0.02 D、0.04

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18、现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，不同的方法共有（）

A、30种 B、56种 C、12种 D、42种

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19、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，且 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - 3 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 9$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $3$ C、 $- 3$ D、2

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，其中 $a_{6} = - 1$ ， $a_{10} = - 9$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $5$

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月份	2024年11月	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
月销量 $y$	0.5	0.9	1	1.2	1.4