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相关试卷

1、公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}^{2} sin (\frac{π a_{n}}{2})\}$ 的前 $n$ 项和．

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2、已知在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} C - {sin}^{2} B = \sqrt{2} sin A sin C ．$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 3 \sqrt{6}, b = 6$ ，点 $D$ 在 $B C$ 延长线上，且 $C D = 10$ ，求 $cos ∠ C A D$ ．

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3、已知点 $P (m, - 2)$ 在函数 $y = {log}_{\frac{1}{3}} x$ 的图象上，点 $A$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，那么 $|\vec{A P}|$ 的值是．

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4、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， $P$ 是棱 $A B$ 上一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $D_{1} P$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $C_{1} P ⊥ B_{1} C$ C、若 $E$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - P C D$ 外接球的表面积的最小值为 $\frac{25 π}{4}$ D、若 $E$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上动点，则三棱锥 $E - P C D$ 的体积为定值

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $ω = 3$ 时， $f (x)$ 在 $(\frac{4 π}{9}, \frac{7 π}{9})$ 上单调递增 B、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，且 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、若 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $ω$ 的最小值为3 D、若 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{23}{12}, \frac{29}{12})$

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6、函数 $f (x) = ln x + a x$ 在 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线为 $y = k x$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\sqrt{e}$ D、1

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7、已知 $\tan α \tan β = 2$ ， $cos (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α + β) =$ （）

A、 $- 9$ B、 $9$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{9}$

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8、北京有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从北京烤鸭、炸酱面、糖火烧、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（）

A、15 B、90 C、270 D、540

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9、已知复数 $z$ ， $\frac{z}{1 - i} = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、2

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10、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于120°时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，且满足 $(2 b - c) \cos A - a \cos C = 0$ ， $a^{2} - {(b - c)}^{2} = 4$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值；

(3)、求 $|P B| \cdot |P C|$ 的取值范围.

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11、如图，多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $∠ A D E = 60 °$ ， $D E / / C F$ ， $C D ⊥ D E$ ， $A D = 2$ ， $D C = 3$ ， $D E = 4$ ， $C F = 5$ .

(1)、求证：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $C D E F$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $F$ 到平面 $A B C D$ 的距离.

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12、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成60°角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $O x$ ， $O y$ 轴正方向同向的单位向量.若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ 则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标，记作 $\vec{O P} = (x, y)$ ，已知点 $A$ ， $B$ 分别在 $O x$ ， $O y$ 轴， $\vec{O A} = (m, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, n)$ ， $m$ ， $n$ 为非零实数，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ .

(1)、求向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标；

(2)、若 $\vec{O A} = (1, 0)$ ， $\vec{O P} ⊥ \vec{A B}$ ，求向量 $\vec{O B}$ 在坐标系 $O x y$ 中的坐标；

(3)、求 $\frac{|\vec{O P}|}{|\vec{O A}|}$ 的最小值.

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13、在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为 $2 a$ ，下底边长为 $4 a$ ，高度为 $2 a$ ；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为 $4 a$ ，高度为 $4 a$ ；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同.

(1)、求灯笼总体积.

(2)、灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.）

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14、已知复数 $z$ 不是纯虚数，且满足 ${|z|}^{2} - 2 z = 1 + 2 i$ .

(1)、求 $|z|$

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - s x + t = 0$ （其中 $s$ ， $t$ 为实数）的根，求 $s + t$ .

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15、如图，已知正四面体 $S - A B C$ 中，侧棱长为2， $F$ 为 $A B$ 中点， $E$ 为 $A C$ 中点， $P$ 是 $S E$ 上的动点， $Q$ 是平面 $S C F$ 上的动点，则 $A Q + P Q$ 最小值是.

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16、已知正三角形 $A B C$ 的边长为4，设点 $P$ 是以边 $A B$ 为直径的圆上的动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最大值为.

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17、已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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18、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，现有 $△ A B C$ 满足 $a : b : c = 2 : 3 : 4$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{15}$ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）

A、 $△ A B C$ 周长为9 B、若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) = 50$ C、 $△ A B C$ 内切圆的面积为 $\frac{5}{3} π$ D、 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 长为 $\sqrt{46}$

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19、在底面是菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P A = A C = a$ ， $P B = P D = \sqrt{2} a$ ，点 $E$ 在 $P D$ 上，且 $P E : E D = 2 : 1$ ，点 $F$ 是棱 $P C$ 的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A F ⊥ B D$ B、三棱锥 $P - A E C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{36} a^{3}$ C、当 $F$ 是棱 $P C$ 的中点时， $B F //$ 平面 $A E C$ D、直线 $B F$ 与平面 $P A C$ 所成的角的正切值最大为 $\sqrt{6}$

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20、已知 $a$ 为非零实数，复数 $z_{1} = a + \frac{i}{a}$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，则（）

A、 $z_{1} z_{2}$ 的实部为 $2 a - \frac{1}{a}$ B、 $|z_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ D、当 $a = 1$ 时， $\bar{z_{1}} < z_{2}$

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