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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |x - \frac{1}{x}| - |x + \frac{1}{x}| + 3$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (a + 8) f (x) - a = 0$ 有8个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4, - \frac{15}{4})$ B、 $[- \frac{15}{4}, 0)$ C、 $(- 4, 0)$ D、 $(- 4, - \frac{7}{2})$

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2、已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $(- 2, 0)$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 7, - 3)$

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3、如图，在四棱锥 $O - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $O A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $O A = 2$ ， $M$ 为 $O A$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点，解答以下问题：

(1)、证明：直线 $M N$ $∥$ 平面 $O C D$ ；

(2)、求点 $N$ 到平面 $O C D$ 的距离．

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4、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $g (x) = m x^{3} + n x^{2} （ m \neq 0)$ ，请完成下列问题.

(1)、当 $m = 1$ ， $n = - 3$ 时，求函数 $y = g (x)$ 图象的对称中心点坐标；

(2)、在（1）的条件下，若 $h (x) = \frac{g (x)}{x}$ ，关于 $x$ 的方程 $h (| a^{x} - 2 |) - （ 3 k - 1 ） | a^{x} - 2 | + 2 k + 1 = 0 (a > 1)$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $\{x |g (x) = 1\} = \{x_{1}, x_{2}\}$ ，证明： $m (x_{1} + x_{2}) < 0$ .

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5、某企业生产 $A$ ， $B$ 两种产品，根据市场调查和预测， $A$ 产品的利润 $y$ （万元）与投资额 $x$ （万元）成正比，其关系如图（1）所示； $B$ 产品的利润 $y$ （万元）与投资额 $x$ （万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示，

(1)、分别将 $A$ ， $B$ 两种产品的利润表示为投资额的函数；

(2)、该企业已筹集到 $40$ 万元资金，并全部投入 $A$ ， $B$ 两种产品的生产，问：怎样分配这 $40$ 万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

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6、已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x | - 2 < x < 3\}$ ．

(1)、解不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ ；

(2)、若 $a = 1$ ，当 $m < 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - (m - 2 b) x + 2 a > 0$ ．

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7、已知全集为 $R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{x - 4}{x + 1} < 0\}$ ，集合 $C = \{x |2 - a < x < 2 a + 1\}$ ．

(1)、求集合 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、在下列条件中任选一个，补充在下面问题中作答．
① $A \cap C = C$ ；② $B \cup C = B$ ；③ $C \subseteq (A \cap B)$ ．若__________，求实数 $a$ 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

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8、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x + 2} + 2^{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ 的最小值为

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9、已知方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，则 $x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}$ =.

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10、写出命题 $\exists x \in R, x + 1 \geq 0$ 的否定：

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11、定义 $\max \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \geq b \\ b, a < b \end{array}$ ，已知函数 $f (x) = \max \{a - | x - 1 |, x^{2} - (2 + a) x + 2 a\}$ ， $0 < a < 1$ ，则函数 $y = f (x)$ 的零点个数可能为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12、已知 $a, b, c \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $b > a > 0, c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$

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13、设函数 $f (x) = \frac{1}{x} + x$ ， $g (x) = m x + 3$ ，若对任意的 $x_{1} \in [\frac{1}{3}, 3]$ ，存在 $x_{0} \in [\frac{1}{3}, 3]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 2, \frac{1}{9}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, 1]$ D、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{9}]$

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14、函数 $f (x) = x \cdot e^{|x|}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15、下列函数与 $y = x$ 是同一个函数的是（）

A、 $u = {(\sqrt[3]{v})}^{3}$ B、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $m = \frac{n^{2}}{n}$

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16、已知 $p$ ： $x^{2} - x = 0$ ， $q$ ： $x = 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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17、若集合 $A = \{x| - 3 < x < 3\}$ ， $B = {x | 1 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3, 4)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $[3,4)$

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18、对于数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2)$ ，定义点集 $B = \{(x, y) ∣ x \in A, y \in A\}$ ，若对任意 $(x_{1}, y_{1}) \in B$ ，都存在 $(x_{2}, y_{2}) \in B$ 使得 $x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} = 0$ ，则称数集 $A$ 是“正交数集”.

(1)、判断以下三个数集 $\{- 1, 1\} ､ \{- 1, 2, 3\} ､ \{- 1, 1, 4\}$ 是否是“正交数集”（不需要说明判断理由，直接给出判断结果即可）；

(2)、若 $a > 4$ ，且 $\{- 2, 2, 4, a\}$ 是“正交数集”，求 $a$ 的值；

(3)、若“正交数集” $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{2024}\}$ 满足： $a_{1} = - 3, 0 < a_{2} < a_{3} < \dots < a_{2024}, a_{2024} = 1012$ ，求 $a_{2}$ 的值（需说明理由）

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19、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 6 x + a = 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} - b x + 2 = 0\}$ .

(1)、若集合A中恰有一个元素，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $(∁_{U} A) \cap B = \{2\}$ ，求 $A \cup B$ .

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20、已知不等式 $a x^{2} + (a + 2) x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则函数 $y = \sqrt{a x^{2} + c x}$ 的定义域为.

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