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相关试卷

1、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 8$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 48$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2、若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙不相邻的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{13}{20}$

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3、若复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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4、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 6 \leq 0\}, B = \{x ∣ e^{x} \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 0]$ B、 $[- 2, 3]$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 3]$

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5、已知圆心为C的圆经过点 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心C在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆心为C的圆的一般方程；

(2)、已知 $P (2, 1)$ ， Q为圆C上的点，求 $|P Q|$ 的最大值和最小值．

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6、已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{1 + x^{2}} + x) - \frac{2}{2^{x} + 1} + 2, (x \in R)$ ，若 $\exists θ \in [0, \frac{π}{3}]$ ，使关于 $θ$ 的不等式 $f (2 \sin θ \cos θ) + f (4 - 2 \sin θ - 2 \cos θ - m) < 2$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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7、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为.

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8、已知点 $P (2, 3, - 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，点 $P_{2}$ 关于 $z$ 轴的对称点为 $P_{3}$ ，则 $|P P_{3}| =$ ．

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9、已知点 $A$ 是圆 $P : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上任意一点，点 $Q$ 是直线 $x + y - 5 = 0$ 与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、以线段 $A Q$ 为直径的圆周长最小值为 $8 π$ B、 $△ A P Q$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、以线段 $A Q$ 为直径的圆不可能过坐标原点 $O$ D、 $\vec{Q O} \cdot \vec{Q A}$ 的最大值为25

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10、若圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，且圆心坐标为 $(1, 2)$ ，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$

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11、两条直线 $l_{1} : \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ 和 $l_{2} : \frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 1$ 在同一直角坐标系中的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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12、方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = a$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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13、已知点 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (1, \sqrt{3})$ ，若向量 $\vec{A B}$ 是直线 $l$ 的方向向量，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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14、某校为丰富学生的校园生活决定开展兴趣课，兴趣课包括音乐课，舞蹈课，影视鉴赏课、篮球课、围棋课等十余种．兴趣课共开展3个月，每种课每月4节且必须上满，每节课可得1分且表现优秀可额外获得1分，若本月不少于6分，下月可以选择继续上此课或者选择其他的兴趣课，6分以下则只能上原来的课．现有甲、乙两人是好朋友，在第一个月他们一起选择了音乐课，音乐课上甲每节课表现优秀的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每节课表现优秀的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求甲第一个月得分的分布列及数学期望；

(2)、求第二个月甲乙两人可以一起选择其他兴趣课的概率；

(3)、若乙每种课的表现优秀率一致，在三个月后乙一共获得21分的情况下，求他在第二个月获得8分的概率．

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15、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{2}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．

(1)、求该考生恰好选到2所985高校的概率；

(2)、若该考生选到985高校的数量为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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17、已知 ${(x + a)}^{n} (n \in N^{*}, a > 0)$ 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为729．

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$ ， $g (x) = x - 2 ln x$ ，对于任意的 $t > 2$ ，存在 $x_{1} > 1$ ， $x_{2} > 1$ 使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ 成立，则 $\frac{ln t}{x_{2} - 2 x_{1}}$ 的最大值为．

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19、已知随机变量 $ξ \sim N (1, 2)$ ，则 $E (ξ) =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (a x - 1)}{x - 1} (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $f (x)$ 有极大值，无极小值 B、若 $a = \frac{1}{2}$ ，则 $f (x)$ 有四个单调区间 C、若 $a = 1$ ，且 $g (x) = f (x) - m x + 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2 + \frac{2}{m}$ 成立 D、若 $a = 2$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{3}{2}, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 成立

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