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相关试卷

1、用一个平行于棱锥底面的平面去截一个底面积为4的棱锥，截得的棱台的上底面积为1，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的体积为（）

A、12 B、9 C、7 D、6

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2、底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，侧面积为 $8 \sqrt{10}$ 的正四棱锥的体积为（）

A、 $24 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $\frac{8}{3} \sqrt{2}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{3}{10}, - \frac{1}{10})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2})$

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4、下列命题中，正确的是（）

A、若直线a与平面 $α$ 平行，则a平行于 $α$ 内的任何直线 B、若两直线a，b都与平面 $α$ 平行，则 $a // b$ C、若直线a平行于平面 $α$ ，直线b在平面 $α$ 内，则 $a // b$ D、若直线l与平面 $α$ 平行，则平面 $α$ 内有无数条直线与l平行

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5、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A B}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $- \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$

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6、对于给定的正整数 $n (n \geq 2)$ ，数列 $\{a_{i}\}$ 共有2n项， $a_{i} \in \{1, - 1\} (i = 1, 2, 3, \dots, 2 n)$ ，用 $S_{k}$ 表示数列的前k项和，且 $S_{2 n} = 0$ .

(1)、若数列满足对于任意的 $k \leq 2 n - 1 (k \in N^{*})$ ，均有 $|S_{k}| \leq 2$ ，则称该数列是“ $n \times 2$ 数列”，其个数记为 $c_{n}$ .
（ⅰ）求 $c_{2}$ 和 $c_{3}$ 的值；
（ⅱ）对于 $n = 4$ ，求满足 $S_{4} = 0$ 的“ $n \times 2$ 数列”的个数.

(2)、当 $n = 4$ 时，求 $X = \max_{k \leq 7} |S_{k}|$ 的分布列及均值.

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7、已知函数 $f (x) = (x - 1) \ln x - m x + 1$ ，

(1)、当 $m = 2$ 时，
（ⅰ）求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；
（ⅱ）证明：函数 $f (x)$ 有唯一极值点；

(2)、若 $f (x) > 1 - e$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点E在AD上，且 $P E ⊥ A D$ ， $A E = D E = 2$ .

(1)、若点Q为线段PE的中点，证明： $B Q //$ 平面PCD；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面PAD， $P E = 3$ ，求直线PD与平面PAB所成的角的正弦值.

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9、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{2} + a_{7} = 20$ ， $S_{5} = 35$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} S_{n} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和 $T_{n}$ ，并证明 $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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10、箱子里放有编号分别为1，2，3，4，5的5个小球，5个小球除编号外其他均相同，从中随机摸出2个小球.

(1)、求摸到两球编号均为奇数的概率；

(2)、在摸到1号球的条件下，求两球编号的和为奇数的概率.

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11、某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\}$ 重新编辑，编辑新序列有两种，分别为 $A * = \{\frac{a_{2}}{a_{1}}, \frac{a_{3}}{a_{2}}, \frac{a_{4}}{a_{3}}, \dots\}$ ， $A^{#} = \{a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{3}, \dots\}$ ，若序列 $(A^{#}) *$ 的所有项都是2，且 $a_{5} = 1$ ， $a_{6} = 33$ ，则 $a_{1}$ 等于.

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12、如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向右移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则 $P (1 < X < 5) =$ .

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13、设随机变量 $ξ ~ N (3, 6)$ ，若 $P (ξ < m) = P (ξ > m - 2)$ ，则 $m =$ .

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14、数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选题正确答案是两个选项的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，正确答案是三个选项的概率为 $1 - p$ .某学生对其中的一道题完全不会，记X为该学生只随机选择1个选项时的得分，记Y为该学生随机选择2个选项的得分，则（）

A、若 $p = \frac{2}{3}$ ，则 $P (Y = 6) = \frac{1}{9}$ B、若 $p = \frac{2}{3}$ ，则 $P (X = 0) = \frac{5}{12}$ C、当 $\frac{1}{2} < p < 1$ 时，则 $E (X) = \frac{5}{2}$ D、当 $\frac{1}{2} < p < 1$ 时，该学生只随机选1个选项时得分表现更优

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15、设 $x^{2025} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{2025} {(x + 1)}^{2025}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} = 2025$ B、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots - a_{2025} = - 2^{2025}$ C、 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ 中最大的是 $a_{1013}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2025}}{2^{2025}} = {(\frac{1}{2})}^{2025}$

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16、下列求导错误的是（）

A、 ${(\ln 5)}^{'} = \frac{1}{5}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = x \cdot 3^{x - 1}$ C、 ${(\cos 2 x)}^{'} = - \sin 2 x$ D、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$

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17、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为 $Rt △ P F_{1} F_{2}$ 的重心、内心.若 $G I // x$ 轴，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{a - 1}{2} x^{2} + 1$ 在区间 $[0, a]$ 上的最小值小于 $- \frac{1}{3}$ ，则正数a的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(0, 2)$

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19、已知随机变量 $η$ ， $ξ$ 满足 $η = 3 ξ + 1$ ，且 $P (ξ \geq 2) = 0.9$ ，则 $P (η < 7) =$ （）

A、0.3 B、0.5 C、0.1 D、0.2

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20、有五名大学生参加为期两天的志愿者服务，每天安排两人参加服务，则恰有1人连续两天参加服务的种数为（）

A、90 B、80 C、70 D、60

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