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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $4 z = {(1 + i)}^{4}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x > 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{- 1, 4, 5\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5\}$

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3、在 $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则称 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $α$ 为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如 $∠ A P C = π - ∠ B A C = ∠ A B C + ∠ A C B$ ，若下列问题中的点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)、当 $A B = A C = 2$ ，且 $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ 时，求 $\tan α$ ；

(2)、角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ A B P = ∠ P B C = α$ ，求证： $b^{2} = a c$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $△ A B C$ 的周长为4，试把 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 表示为 $b$ 的函数 $f (b)$ ，并求 $f (b)$ 的值域．

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4、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 的中点，底面 $△ A B C$ 的边长为2， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $C A_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A_{1} D C$ 的体积；

(3)、求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值．

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5、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $C D = 4 \sqrt{3}, B C = 2 \sqrt{3}, ∠ B D C = 30 °, B C ⊥ A D$ ．

(1)、 $B C ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、当 $A B = A D = 4$ 时，求二面角 $A - B C - D$ 的正弦值．

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6、农历五月初五是端午节.这一天民间有吃粽子的习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国诗人屈原.粽子的形状有多种.今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转 $\frac{π}{2}$ （如图）而成.如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽子馅的最大体积为.

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7、已知复数 $z$ 满足 $|z - 2 - 4 i| = 1$ ，当 $z$ 的虚部取最小值时， $z =$

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8、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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9、在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为 $\vec{G}$ ，作用在行李包上的两个拉力分别为 $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ ，且 $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}|, \vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $|\vec{F_{1}}| = \frac{|\vec{G}|}{2 cos \frac{θ}{2}}$ B、 $θ$ 越小越费力， $θ$ 越大越省力 C、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $|\vec{F_{1}}| = |\vec{G}|$ D、 $θ$ 的范围为 $[0, π]$

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10、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $(b^{2} - c^{2}) \cdot sin B = 2 S$ ，若 $a = k c$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(0, 2)$

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11、在如图（1）所示的四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为正方形，且侧面 $A B C$ 垂直于底面 $B C D E$ ，水平放置的侧面 $A B C$ 的斜二测直观图如图（2）所示，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = 1$ ，则四棱锥 $A - B C D E$ 的侧面积是（）

A、 $12 + \sqrt{34}$ B、 $20 + 2 \sqrt{34}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、 $2 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$

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12、下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是（）

A、①④ B、②③ C、①② D、③④

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13、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = \sqrt{3} A C, B = 30 °$ ，则C＝（）

A、60° B、30° C、30°或150° D、60°或120°

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14、在复平面内，复数 $\frac{3 - 4 i}{1 + i}$ （其中i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、从一个含有 $N$ 个个体的总体中抽取一容量为 $n$ 的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，三者关系可能是（）

A、 $p_{1} = p_{2} < p_{3}$ B、 $p_{1} = p_{2} = p_{3}$ C、 $p_{1} = p_{3} < p_{2}$ D、 $p_{2} = p_{3} < p_{1}$

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16、生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为 $N = N_{0} λ^{t}$ ，其中 $N_{0}$ 为初始个体数， $N$ 为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（）（参考数据： $\lg 2 = 0.3$ ， $\lg 3 = 0.48$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 绕着 $y$ 轴旋转一周构成双曲面 $D$ ，其中 $C$ 在旋转过程中的所有实轴落在 $x O z$ 平面内，设 $x O z$ 所在的平面为 $α$ ，平面 $β$ 满足 $α // β$ ，且 $α$ 与 $β$ 之间的距离为 $\sqrt{3} b$ .

(1)、若点 $P (x, z, y)$ 在 $D$ 上，试用含 $x, z, y$ 的方程表示 $D$ （不用说明理由）.

(2)、设 $T_{α}, T_{β}$ 分别是 $α, β$ 截得 $D$ 的截面.
（i）设 $l_{α}, l_{β}$ 分别为 $T_{α}, T_{β}$ 上的弦，求 $l_{α}, l_{β}$ 所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面 $T_{β}$ 的圆周上的点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 恰好构成正 $n$ 边形的顶点， $P$ 为 $D$ 上一动点，若对任意 $a > b > 0, λ |\sum_{i = 1}^{n} \vec{P A_{i}}| \geq n \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 2 e^{1 - x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、证明： $f (x) \geq 3 ln x$ .

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c (2 - \cos A) = a \cos C$ .

(1)、求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $b = 6$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，求AD的长.

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20、函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ 的极小值是.

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