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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos B + \sin \frac{A + C}{2} = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a : c = 3 : 5$ ，且AC边上的高为 $\frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A B = A D = 2, D C = 4, D C ∥ A B$ ， $A D ⊥ A B, E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求 $A C$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正弦值.

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4、（1）已知 $A (0, 3)$ 和 $P (3, \frac{3}{2})$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．求C的离心率；
（2）已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过点 $(2, - 3)$ ，一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求双曲线C的方程．

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5、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (a x + 1) + f (\ln \frac{1}{x}) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (1 < X \leq 4) = 0.3$ ，则 $P (X > 4) =$ ．

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7、有三个相同的箱子，分别编号 $1, 2, 3$ ，其中 $1$ 号箱内装有 $1$ 个红球、 $4$ 个白球， $2$ 号箱内装有 $2$ 个红球、 $3$ 个白球， $3$ 号箱内装有 $3$ 个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件 $A_{i}$ 表示“取到 $i$ 号箱 $(i = 1, 2, 3)$ ”，事件 $B$ 表示“摸到红球”，事件 $C$ 表示“摸到白球”，则（）

A、 $P (B |A_{1}) = \frac{1}{5}$ B、 $P (B |A_{1}) + P (C |A_{1}) = P (A_{1})$ C、 $P (B) = \frac{7}{15}$ D、 $P (A_{1} |B) = \frac{1}{8}$

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8、下列结论正确的有（）

A、若 $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ ，则 $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 1$ B、若 $y = \cos \frac{π}{3}$ ，则 $y^{'} = - \sin \frac{π}{3}$ C、若 $y = \ln (2 x + 1)$ ，则 $y^{'} = \frac{2}{2 x + 1}$ D、若 $y = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $y^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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9、易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（）

A、 $\frac{23}{28}$ B、 $\frac{25}{28}$ C、 $\frac{13}{14}$ D、 $\frac{27}{28}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 1$ ，若 $a_{8} = - 10, a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、28 B、13 C、18 D、2

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, - 2 \sqrt{3}), |\vec{b}| = 2$ ，与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|m \vec{a} - 3 \vec{b}| = 2 \sqrt{13}$ ，求实数 $m$ 的值．

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12、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，满足 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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13、已知x为实数，复数 $z = x - 2 + (x + 2) i$ ．

(1)、当x为何值时，复数z的模最小？

(2)、当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数 $y = - m x + n$ 的图象上，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值及取得最小值时m，n的值．

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14、（1）已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ．
（2）已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ．
（3）已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，问：当 $k$ 为何值时， $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ .

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15、如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为米.

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16、若复数 $z = (m^{2} - 9) + (m^{2} + 2 m - 3) i$ 是纯虚数，其中 $m \in R$ ，则 $m =$ ．

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17、设点M是线段 $B C$ 的中点，点A在直线 $B C$ 外， ${\overset{⇀}{B C}}^{2} = 16$ ， $|\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}| = |\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C}|$ ，则 $|\overset{⇀}{A M}| =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、6

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18、如图所示，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{B D}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{5}{12} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{a}$ B、 $\frac{5}{12} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{a}$

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19、已知 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{\cos α - \sin α}{\sin α + \cos α}$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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20、若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = ln (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、0或2

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