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相关试卷

1、如图，已知 $A B = 2, C D = 4, \vec{A B}, \vec{C D}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} + \vec{B C} \cdot \vec{C D} + \vec{C D} \cdot \vec{D A} + \vec{D A} \cdot \vec{A B}$ 的值；

(2)、若线段 $A D, B C$ 的中点分别为 $P, Q, \vec{P Q} = x \vec{A B} + y \vec{C D}$ .
（i）求实数 $x, y$ 的值；
（ii）求线段 $P Q$ 的长.

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2、已知 $tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，求下列各式的值.

(1)、 $tan α$ ；

(2)、 $\frac{1 + sin 2 α}{1 + sin 2 α + cos 2 α}$ .

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3、从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示.观察图形，回答以下问题：

(1)、 $[79.5, 89.5)$ 这一组的频率和频数分别为多少？

(2)、估计该次环保知识竞赛的及格率（60分以上为及格）；

(3)、估计这组数据的80百分位数.

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4、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，过点 $A$ 的平面 $α$ 与棱 $P B, P C, P D$ 分别交于 $E, F, G$ .若三棱锥 $P - A G F$ 的体积是三棱锥 $P - E G F$ 体积的 $\frac{3}{2}$ 倍，则 $\frac{P E}{P B}$ 的值为.

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5、已知一组数据 $a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5$ ，则这组数据的方差为.

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6、半径为1的球 $O^{'}$ 完全在半径为 $R (R > 1)$ 的球 $O$ 的内部，且两球球面有唯一的公共点 $P$ ，球 $O$ 表面上三点 $A, B, C$ 确定的平面与球 $O^{'}$ 相切，若 $P A = 3, ∠ P A B = ∠ P A C = \frac{π}{4}$ ， $cos ∠ C A B = \frac{4}{5}$ ，则（）

A、 $O, O^{'}, P$ 三点共线 B、 $B C = \frac{8}{5} \sqrt{5}$ C、直线 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成角小于 $\frac{π}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{18}{5}$

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7、已知 $\vec{a} = (cos α, sin α), \vec{b} = (\sqrt{2} cos β, \sqrt{2} sin β)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ C、 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a}}{2}$

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8、设 $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则下列说法正确的有（）

A、 $z - \bar{z}$ 是纯虚数 B、 $z + \bar{z}$ 是实数 C、 $z \bar{z}$ 是实数 D、 $|z - \bar{z} |\leq 2| \bar{z}|$

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $a = \frac{1}{2}, c = 2 cos B, cos C = c sin A$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{3}{20}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10、已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为 $36 π$ ，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $36 π$ B、 $45 π$ C、 $54 π$ D、 $63 π$

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11、已知函数 $f (x) = sin x - \sqrt{3} cos x, f (x_{0}) = - \frac{1}{2}, x_{0} \in (0, π)$ ，则 $sin x_{0}$ 的值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5} - 1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - 1}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{15} + 1}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5} + 1}{8}$

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12、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内所对应的点分别为 $(1, \sqrt{3})$ 和 $(0, 1)$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $\sqrt{3} - i$ B、 $\sqrt{3} + i$ C、 $- \sqrt{3} - i$ D、 $- \sqrt{3} + i$

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13、某工厂6月份生产 $A, B, C$ 三种产品的数量比为 $5 : 4 : 3$ ，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 $n$ 的样本，若样本中 $A$ 产品的数量为600，则 $n$ 的值为（）

A、1200 B、1440 C、1800 D、2400

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14、已知向量 $\vec{a} = (4, 2), \vec{b} = (8, t)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、16 B、4 C、-4 D、-16

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15、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ （其中a、b、c不同时为0），点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} =$ $\frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，将其整理为一般式方程为 $a x + b y + c z - d = 0$ ，其中 $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$ .

(1)、已知直线 $l_{1}$ 的方程为 $\frac{x - 1}{\sqrt{3}} = \frac{y + 2}{2} = - z$ ，直线 $l_{2}$ 的方程为 $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- \sqrt{3}} = z - 5$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角的余弦值；

(2)、若直线 $l_{1} : \frac{x - 1}{2} = y = - (z - 1)$ 与直线 $l_{2} : - (x - 1) = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{2}$ 都在平面 $α$ 内，求平面 $α$ 的一般方程；

(3)、已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所在平面 $α_{2}$ 经过三点 $P (4, 0, 0),$ $Q (3, 1, - 1),$ $H (- 1, 5, 2)$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在平面 $β_{2}$ 的一般式方程为 $x + 2 y + z + 4 = 0$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所在平面 $γ_{2}$ 的一般式方程为 $m x + 6 y + 2 m z + 1 = 0$ ，求实数m的值.

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16、已知直线 $l$ 过点 $P (2, 3)$ ，根据下列条件分别求出直线 $l$ 的方程．

(1)、 $l$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距互为相反数；

(2)、 $l$ 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点均在半径为1的球 $O$ 表面上，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动， $M N$ 为球 $O$ 的一条直径，则正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的范围是．

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18、已知直线 $y = (3 - 2 t) x - 5$ 不过第一象限，则实数t的取值范围为．

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱 $A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为线段CM上的动点，则（）

A、平面CMN截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面形状是五边形 B、向量 $\vec{B N}$ 在向量 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ 上的投影向量的模为 $\frac{2}{3}$ C、存在点P，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ D、点P到棱 $D D_{1}$ 距离的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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20、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C D$ 上运动，则（）

A、若点 $P$ 为 $C D$ 的中点，则平面 $B C_{1} P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $B_{1} P ⊥ A D_{1}$ C、点 $P$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、异面直线 $B P$ ， $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$

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