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相关试卷

1、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、在样本答卷成绩为 $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在 $[70, 80)$ 中的市民应抽取多少人？

(3)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $S^{2}$ ．
参考公式： $S^{2} = \frac{n}{n + m} [S_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [S_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数．

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2、已知复数 $z$ 满足 $z^{2} + 4 = 0$ ，则 $|z + 2|$ 的值为．

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3、如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为.

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4、二面角 $α - l - β$ 为 $60 °$ ， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C$ ， $B D$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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5、在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为；身高方差为.

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6、已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（）

A、10 B、10.6 C、12.6 D、13.6

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7、现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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8、已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A、160，12 B、120，12 C、160，9 D、120，9

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9、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径. $P A$ 与 $⊙ O$ 所在的平面垂直， $P A = A B = 2$ ， C是 $⊙ O$ 上的一动点（不同于A，B），M为线段 $P B$ 的中点，点N在线段 $P C$ 上，且 $A N ⊥ P C$ .

(1)、求证： $A N ⊥ M N$ ；

(2)、当 $A C = B C$ 时，求直线 $P C$ 与直线 $A M$ 所成角的余弦值.

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10、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的无穷等差数列，且各项均为整数.若对于 $\{a_{n}\}$ 中任意两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中都存在一项 $a_{i}$ ，使得 $a_{i} = a_{m} a_{n}$ ，则称数列具有性质P.若 $a_{1} = 4$ ，则具有性质P的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为.

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11、若 ${(1 - 2 x)}^{5} (x + 2) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3} =$ .

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12、已知 $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上一点.按如下方式依次构造点 $M_{n} (x_{n}, y_{n})$ （ $n = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot$ ）；过点 $M_{n - 1}$ 作斜率为 $k$ （ $k < 0$ ）的直线与 $C$ 交于另一点 $N_{n - 1}$ ，点 $M_{n}$ 为 $N_{n - 1}$ 关于 $x$ 轴的对称点.令 $y_{1} = 2$ .（）

A、若 $k = - 1$ ，则 $y_{2} = - 6$ B、数列 $\{y_{n}\}$ 是等差数列 C、数列 $\{y_{n}\}$ 是等比数列 D、设 $S_{n}$ 是 $△ M_{n} M_{n + 1} M_{n + 2}$ 的面积，则 $S_{n} = S_{n + 1}$

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13、已知函数 $f (x) = sin 2 x + b cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 C、 $f (\frac{5 π}{6} - x) + f (x) = 0$ D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{17 π}{12})$ 内有唯一的极小值点

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14、如图是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则两个三棱锥 $D - A_{1} B C_{1}$ ， $B_{1} - A D_{1} C$ 的公共部分的内切球的表面积为（）．

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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15、 $P$ 是圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - a^{2})}^{2} = 1$ 上的动点， $Q$ 是直线 $y = x - 2$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8} - 1$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{8}$

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16、若 $a = {l o g}_{2} \sqrt{3}$ ， $b = {l o g}_{4} \sqrt{6}$ ， $c = {l o g}_{6} 3$ ，则（）

A、 $a = b = c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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17、已知 $tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin θ cos θ + cos 2 θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{11}{9}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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18、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\overset{⃑}{a} = (1, \sqrt{2})$ ， $| \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{21}$ B、21 C、3 D、9

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19、在 $△ A B C$ 中， $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ，设 $∠ A, ∠ D B C$ 分别为 $α, β, β = λ α$ .

(1)、若 $β = \frac{π}{2}$ .
（i）求 $(2 \vec{A D} + \vec{B D}) \cdot \vec{B D}$ 的值；
（ii）求 $λ$ 的最小值；

(2)、若 $λ = 2, B D = 2 B C$ ，求 $cos β$ 的值.

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20、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内， $M$ 是棱 $C D$ 上一点（不包括端点）， $A M$ 的中点为 $E, P A = P M, P B = P C$ .

(1)、求证： $A D$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $P E ⊥ B C$ ；

(3)、若二面角 $P - B C - A$ 与二面角 $P - A B - M$ 的大小都为 $\frac{π}{3}$ ，四棱锥 $P - A B C M$ 的体积为 $\frac{3}{4}$ ，求 $A A_{1}$ 的长.

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