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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、根据定义证明： $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增.

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2、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - x$ ，则 $f (2) =$ .

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3、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (x) = x^{3} f (\frac{1}{x})$ $（ x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty) ）$ ， $f (x) + f (y) + x y = f (x + y)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (3) = 3$ C、 $f (x) - f (- x) = x$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{2}$

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4、下列命题正确的有（）

A、 $x > 2$ 是 $(x - 2) (x - 1) > 0$ 的充分不必要条件 B、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 = 0$ C、 $\forall x \in R, 4 x^{2} > 2 x - 1 + 3 x^{2}$ D、对于任意两个集合 $A, B$ ，关系 $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$ 恒成立

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5、若对任意 $x, y ∈ R$ ，有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，则函数 $g (x) = \frac{2 x}{x^{2} +1} + f (x) +3$ 在 $[−2019,2019]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 的和 $M + m =$ （）

A、 $−6$ B、6 C、 $−3$ D、5

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6、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ．则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x (1 + x)$ B、 $f (x) = x (x - 1)$ C、 $f (x) = - x (x + 1)$ D、 $f (x) = x (1 - x)$

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7、若函数 $f (x) = x^{2} - 4 x$ 在 $x \in (0, 1]$ 上，则有（）

A、最小值为 $- 3$ B、最大值0 C、最小值为 $- 4$ D、最大值 $- 3$

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8、已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x - 1} < 0} ，$ 集合 $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 3)$ B、 $[1, 3]$ C、 $\{1, 2\}$ D、 ${2, 3}$

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9、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - 2 x^{2} + 4 x$

(1)、在坐标系里画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数的单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq m + 2 x$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x, x > 1 \\ x^{2} + 1, x \leq 1 \end{cases}$ ，则 $f (2) =$ ．

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11、已知 $△ A B C$ 顶点 $A (3, 0)$ 、 $B (- 1, - 3)$ 、 $C (1, 1)$

(1)、求 $B C$ 边上中线所在的直线方程；

(2)、求 $B C$ 边上高线所在的直线方程；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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12、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，若椭圆 $C$ 上存在点P使得线段 $P F_{1}$ 的中垂线恰好经过焦点 $F_{2}$ ，则椭圆 $C$ 离心率的取值范围是

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3, - 2), \vec{b} = (2, - 1, 3), \vec{c} = (4, 3, m)$ ，若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 不能构成空间的一个基底，则实数 $m$ 的值为.

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14、设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $3 | P D | | P E | = S_{△ P F_{1} F_{2}}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、如图，某圆锥 $S O$ 的轴截面 $S A C$ 是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，点M是 $S A$ 的中点，则异面直线 $A B$ 与 $C M$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、已知直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + m y + m + 3 = 0$ 互相平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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17、新冠肺炎疫情造成医用防护服紧缺，当地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供 $x (x \in [0, 10])$ （万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到 $t = k \cdot (6 - \frac{12}{x + 4})$ （万件），其中k为工厂工人的复工率 $(k \in [0.5 ， 1])$ ， A公司生产t万件防护服还需投入成本 $(20 + 8 x + 50 t)$ （万元）.
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数；
（2）对任意的 $x \in [0, 10]$ （万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上的单调性，并用定义证明你的结论.

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19、已知集合 $A = \{x | - 3 \leq x < 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} - (a + 1) x + a \leq 0\}$ .
（1）若 $a = - 1$ ，求 $A \cap B$ ；
（2）设 $p : x \in A$ ； $q : x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、研究表明，函数 $g (x) = f (x + a) - b$ 为奇函数时，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称．若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 的图象对称中心为 $P (a, b)$ ，那么 $a - b =$ ．

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