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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{2 a}{x} - ln x - 1$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2 e^{2}}]$ C、 $(1, e]$ D、 $[- \frac{1}{2 e^{2}}, 1)$

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2、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $π$ D、 $2 π$

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3、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 过点 $A (- \sqrt{3}, 1)$

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的正弦值.

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5、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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6、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 4$ ， $C^{'} D^{'} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A^{'} D^{'} = 2 \sqrt{2}$ B、 $A B = 4$ C、四边形 $A B C D$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ D、四边形 $A B C D$ 的周长为 $6 + \sqrt{6} + \sqrt{2}$

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8、若复数z满足 $z (3 + 4 i) = 25$ ，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、若复数z满足 $(1 + i) z = 3 - 2 i$ ，则z的虚部为（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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10、设正四面体 $A B C D$ 的棱长为2， $M$ 是 $A D$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C M}$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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11、函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12、若关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - m x - 1 < 0$ 的解集是 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${m | - 4 \leq m \leq 0}$ B、 ${m | - 4 < m \leq 0}$ C、 ${m | 0 \leq m < 4}$ D、 ${m | - 4 < m < 0}$

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13、直线 $x \sin θ + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $△ P C D$ 为等边三角形， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 4$ ．

(1)、求证： $P B ⊥ C D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角正弦值．

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15、在三棱锥 $A - B C D$ 中，若 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $B D = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、0

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16、已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 3 - 2 a},$ $B = {x | - 2 < x < 4}$

(1)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 成立的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x - 2 < 0$

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18、不透明的口袋中装有编号分别为 $1, 2, \dots, n (n \geq 2, n \in N^{*})$ 的 $n$ 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 $r$ 次，每次取1个球，记取出的 $r$ 个球的最大编号为随机变量 $X$ ，则称 $X$ 服从参数为 $n, r$ 的“ $B M$ ”分布，记为 $X \sim B M (n, r)$ .

(1)、若 $X \sim B M (2, 2)$ ，求 $P (X = 2)$ ；

(2)、若 $X \sim B M (4, m)$ ，且 $E (X) \geq \frac{13}{4}$ ，求 $m$ 的最小值；

(3)、若 $X \sim B M (n, n)$ ，求证： $\forall n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ， $E (X) > n - 1$ .

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ， $Q (- 4, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| + |P B| = 4$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $Q$ 且斜率不为0的直线 $l$ 与 $C$ 相交于两点E，F（ $E$ 在 $F$ 的左侧）.设直线 $A E$ ， $A F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②设直线 $A F$ ， $B E$ 相交于点 $M$ ，求证： $|M A| - |M B|$ 为定值.

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，设曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线为 $l$ ，求 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 的公共点个数；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in [1, e]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < e^{2} + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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