四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2026-06-14 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则z的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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2. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$ B、若 $a / / α$ ， $a / / β$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a / / b$ C、若 $a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $a / / α$ ，则 $a ⊥ β$

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3. 现有 $A, B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球 $a$ 为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（）

A、M发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、M与N互斥 C、M与N相互独立 D、P发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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4. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）

A、甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B、甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C、甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D、甲成绩的方差小于乙成绩的方差

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5. 内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点 $C$ 与 $D$ 与塔底 $B$ 在同一水平面，并测得 $C D = 20 \sqrt{2}$ 米， $∠ B C D = 15^{\circ}, ∠ B D C = 120^{\circ}$ ，在点 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、60米

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6. 甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）

A、0.36 B、0.352 C、0.288 D、0.648

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，点 $F$ 在 $B E$ 上，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A D}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{8}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，P为边AB上一点， $C P = 1$ ， $∠ A C P = 30^{\circ}$ ， $∠ B C P = 45^{\circ}$ ， $A P = λ B P$ ， $∠ C P B = θ$ .当 $△ A B C$ 面积最小时， $\tan θ =$ （）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（）

A、 $|(8 - 6 i) i| = 10$ B、 $\frac{6 - 8 i}{i} = - 8 - 6 i$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z - 1|$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$

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10. $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $4 (2 + \sqrt{3})$

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11. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、动点 $F$ 轨迹的长度为 $\sqrt{2}$ B、三棱锥 $B_{1} - D_{1} E F$ 体积的最小值为 $\frac{1}{3}$ C、 $B_{1} F$ 与 $A_{1} B$ 不可能垂直 D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为.

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13. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有 $3$ 个面角，每个面角为 $\frac{π}{3}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $2 π - \frac{π}{3} \times 3 = π$ ．在底面为矩形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = \sqrt{2} P A$ ， $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，顶点 $B$ 的曲率为．

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14. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为 $p_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ； $p_{5} =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), |\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(5 \vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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16. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)、求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

(2)、用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

(3)、若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙复赛获优秀等级的概率为 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $(2 a - c) \cos B = b \cos C$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $C D = 1, A D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、如图，过点A作BC的平行线AP，且 $\vec{B C} = \frac{7}{12} \vec{A P}$ ，在四边形ABCP中， $A B = 2, A P = 3$ ，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}, \vec{C F} = λ \vec{C P}$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值．

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19. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ .

(1)、 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\tan B = 3 \tan A$ .
①当 $a = 4$ 时，求 $\frac{c}{\cos B}$ 的值；
②当 $b = 4$ 时，求 $a c$ 的最大值.

(2)、若 $A B = 2 B C = 4$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折成 $△ P A C$ ，使得平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ，在四面体 $P A C D$ 中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ ，试比较 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 的大小.

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