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相关试卷

1、下列函数求导运算正确的个数为（）
① ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ ② ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ ③ ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x - 1$ ， $g (x) = x \ln x - 1$

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上恰有一个极值点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求 $g (x)$ 的零点个数；

(3)、若 $m = 1$ ，求证：对于任意 $x \in (0, + \infty)$ ，恒有 $f (x) \geq g (x)$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x - 2$ ， $g (x) = x^{2} - m x + 4$ （ $m \in R$ ）．

(1)、当 $m = 4$ 时，求不等式 $g (x) > f (x)$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $g (x) > f (x)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [1, 2]$ ，存在 $x_{2} \in [4, 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围．

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4、为切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，各中小学积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查．某校为研究本校学生的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
$45$
$55$
未近视
$20$
$80$

(1)、能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？

(2)、据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{。}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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5、如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图

注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022.

(1)、由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；

(2)、建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 15.41, \sum_{i = 1}^{9} t_{i} y_{i} = 82.57, \sqrt{\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.72, \sqrt{15} \approx 3.873$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} t_{i} y_{i} - n \bar{t} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .
回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ .

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6、某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量（件）
50
30
20

(1)、若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；

(2)、若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数， $Y$ 为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望 $E (Y)$ ．

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7、一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共10个，其中黑球有4个，现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为．

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8、已知x＜ $\frac{5}{4}$ ，则f(x)＝4x－2＋ $\frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值为

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} e^{x}, x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{2}}, x \geq 1 \end{array}$ ，给出下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在4个极值点 B、 $f^{'} (\frac{5}{2}) > f^{'} (\frac{1}{2}) > f^{'} (\frac{3}{2})$ C、若点 $P (x_{1}, y_{1}) (x_{1} < 1), Q (x_{2}, y_{2}) (x_{2} \geq 1)$ 为函数 $f (x)$ 图象上的两点，则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{4 e - e^{2}}{4}$ D、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\frac{2}{e^{2}}, \frac{e^{2}}{8}) \cup (\frac{e}{2}, + \infty)$

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10、（多选题）下列说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从一批含有10件正品､4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 $\frac{45}{91}$

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11、已知实数 $a, b, c$ 满足 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{a - c} > \frac{1}{b - c}$ B、 $a - c > 2 b$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a b + b c > 0$

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12、某货车为某书店运送书籍，共 $10$ 箱，其中 $5$ 箱语文书、 $3$ 箱数学书、 $2$ 箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的 $9$ 箱书中随机打开 $2$ 箱，结果是 $1$ 箱语文书、 $1$ 箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{8}$

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13、正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，可以证明，对给定的 $k \in N^{*}, P (μ - k σ \leq X \leq μ + k σ)$ 是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩 $ξ$ 基本服从正态分布 $ξ ~ N (105, 10^{2})$ .若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在 $(105, 125)$ 的考生人数大约为（）

A、341 B、477 C、498 D、683

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14、已知一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.7$ ，则在样本点 $(165, 57)$ 处的残差为（）

A、 $- 2.45$ B、2.45 C、3.45 D、54.55

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15、从 $7$ 本不同的书中选 $3$ 本送给 $3$ 个人，每人 $1$ 本，不同方法的种数是（）

A、 $C_{7}^{3}$ B、 $A_{7}^{3}$ C、 $3^{7}$ D、 $7^{3}$

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16、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $5$

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17、设 $a \in R$ ， $f (x) = a cos x + a^{2} sin 2 x$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，判断函数 $y = f (\frac{π}{2} - x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求证：函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的最小值为 $- 2 a^{2} - |a|$ ；

(3)、若对任意的 $x \in R, f (x) \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足以下条件：① $\{a_{n}\}$ 是严格增数列；② $\{a_{n}\}$ 的各项均为自然数；③ $a_{1} = 0, a_{2} = 1$ .设集合 $A = \{x ∣ x = a_{i} + a_{j}, i \neq j\}$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 共有4项，且 $a_{3} = 2, a_{4} = 4$ ，用列举法表示集合 $A$ ；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 为无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对一切正整数 $n$ 都有 $S_{n} < a_{n + 1}$ 成立，求证：对任意不小于3的正整数 $n$ ，不等式 $S_{n} > 2^{n - 2}$ 都成立；

(3)、设数列 $\{a_{n}\}$ 为有穷数列，若 $[1, 27] \cap Z \subseteq A$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 项数的最小值.

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19、某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图， $A$ 是锂矿， $B$ 是钴矿，直线 $l$ 是一条河流. $A ､ B$ 两点在直线 $l$ 上的投影分别为 $C ､ D$ 两点.已知 $A C = 3$ ， $B D = 4, \tan ∠ B A C = - 7$ .假设工厂建在线段 $C D$ 上（包含端点）的点 $E$ 处，设 $C E = x$ .

(1)、求 $A B$ 的长.

(2)、若沿线段 $A E$ 与 $B E$ 建两条公路用于矿产运输，且要求 $∠ A E B$ 是钝角，求 $x$ 的取值范围.

(3)、若要建设公路连接 $A ､ B ､ E$ 三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知 $∠ A E B$ 的最大值约为 ${90.58}^{\circ}$ .）

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20、设 $i$ 是虚数单位， $m ､ k \in R . α ､ β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2 + m i) x + k = 0$ 的两根，且满足 $|α| + |β| = 3$ .

(1)、若 $α = 2 + \sqrt{5} i$ ，求 $m$ 与 $k$ 的值；

(2)、若 $m = 0$ ，求 $k$ 的值.

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	长时间使用电子产品	非长时间使用电子产品
近视	$45$	$55$
未近视	$20$	$80$

$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{。}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

产品等级	一等品	二等品	三等品
样本数量（件）	50	30	20