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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x - 1)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (- x) + f (x + 2) = 2, f (0) = - 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 1) = - 1$ C、2是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 2025$

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2、已知 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b, a b c \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $c - a < c - b$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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3、函数 $f (x) = \frac{x}{ln x}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} + t f (x) < 0 (t \in R)$ 有且仅有四个整数解，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{5}{ln 5}, - \frac{2}{ln 2})$ B、 $(\frac{2}{ln 2}, \frac{6}{ln 6}]$ C、 $(\frac{5}{ln 5}, \frac{6}{ln 6}]$ D、 $[- \frac{6}{ln 6}, - \frac{5}{ln 5})$

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4、已知 $x, y$ 为正实数，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{x + 2 y + 1}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 \sqrt{2} - 1$ C、 $2 \sqrt{6} + 5$ D、 $2 \sqrt{6} - 5$

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5、若 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ 对任意 $x, y \in R$ 恒成立， $f (1) = 1$ ，则 $f (30) =$ （）

A、189 B、190 C、464 D、465

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6、已知直线 $l : (m - 1) x + 2 y + 3 - m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 6 y = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{10}, 3 \sqrt{2}]$ B、 $[2 \sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{10}, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{10}, 6 \sqrt{2}]$

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7、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - 2 x^{2}, x > 0, \\ ln (1 - x), x \leq 0, \end{array}$ 则不等式 $f (x + 3) < f (x^{2} + 3 x)$ 的解集是（）

A、 $(- 3, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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8、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{4} = 8$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前10项的积为（）

A、 $2^{40}$ B、 $2^{45}$ C、 $2^{50}$ D、 $2^{55}$

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9、已知命题 $p : \forall x \in R, |x - 1| < 1$ ，命题 $q : \exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ ，则（）

A、命题 $p$ 和命题 $q$ 都是真命题 B、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 都是真命题 C、命题 $q$ 的否定和命题 $p$ 都是真命题 D、命题 $p$ 的否定和命题 $q$ 的否定都是真命题

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10、已知集合 $M = \{x |x > - \frac{3}{2}\}, N = \{x \in Z |- \frac{5}{2} < x < 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |- \frac{3}{2} < x < 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{0, 1\}$

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11、若有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 0$ 且 $\sum_{i = 1}^{n} |a_{i}| = 1$ ，则称其为“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列”.

(1)、若“6阶 $0 - 1$ 数列”为等比数列，写出该数列的各项；

(2)、若某“ $2 k + 1$ 阶 $0 - 1$ 数列”为等差数列，求该数列的通项 $a_{n}$ （ $1 \leq n \leq 2 k + 1$ ，用 $n, k$ 表示）；

(3)、记“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列” $\{a_{n}\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_{k} (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，若存在 $m \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，使 $S_{m} = \frac{1}{2}$ ，试问：数列 $\{S_{i}\} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 能否为“ $n$ 阶 $0 - 1$ 数列”？若能，求出所有这样的数列 $\{a_{n}\}$ ；若不能，请说明理由.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 $k$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $k = 1$ ，求 $|A B|$ 的最大值；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，若 $A, B, O$ 三点不共线，且 $O A, O B$ 的斜率满足 $k_{O A} \cdot k_{O B} = k^{2}$ ，求证： $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 为定值.

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 2 \sqrt{3}, P C = A B = 6, P B = \sqrt{30}, ∠ A B C = 90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上的动点.

(1)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 与平面 $P B D$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $C D$ 的长.

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14、已知函数 $f (x) = x e^{- x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、已知函数 $f (x)$ 与函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称.证明：当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) > g (x)$ 恒成立.

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15、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 满足 $(1 - tan A) (1 - tan B) = 2$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $B C$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} B C$ ，求 $cos A$ .

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16、将编号为 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5个小球随机放置在圆周的5个等分点上，每个等分点上各有一个小球.则使圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和最小的放法的概率为.

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17、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{2 n} x + {cos}^{2 n} x (n \in N^{*})$ ，记 $f_{n} (x)$ 的最小值为 $a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{7}{8}$ B、 $\forall n \in N^{*}, f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $f_{n} (x) \leq 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + a_{i}) < 2$

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18、在平面直角坐标系中， $A (2, 0), B (0, 2)$ ，则下列曲线中存在两个不同的点 $M, N$ 使得 $|M A| = |M B|$ 且 $|N A| = |N B|$ 的有（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} = 2 x$

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19、某班有男生30人，女生20人.在某次考试中，男生成绩的均分和女生成绩的均分分别为 $\bar{x_{1}}, \bar{x_{2}} (\bar{x_{1}} \neq \bar{x_{2}})$ ；方差分别为 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}$ ，该班成绩的均分和方差为 $\bar{x}, s^{2}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\bar{x} = \frac{3}{5} \bar{x_{1}} + \frac{2}{5} \bar{x_{2}}$ B、 $\bar{x} > \frac{3}{5} \bar{x_{1}} + \frac{2}{5} \bar{x_{2}}$ C、 $s^{2} = \frac{3}{5} s_{1}^{2} + \frac{2}{5} s_{2}^{2}$ D、 $s^{2} > \frac{3}{5} s_{1}^{2} + \frac{2}{5} s_{2}^{2}$

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20、设函数 $f (x) = (2 a - x) ln (x + b)$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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