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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正实数的等比数列，且 $a_{3} - a_{2} = 4, a_{1} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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2、如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域 $A, B, C, E$ 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有种.

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3、已知 $a, b$ 均为实数且 $a > 0, b > 0, a + b = 3$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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4、已知 $g (x) = x^{3} f (x), f (x), g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x), g^{'} (x)$ ，且 $f (1) = f^{'} (1) = 2$ ，则 $g^{'} (1) =$ .

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5、已知各项均不为0的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1, S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1} + 1}{4}$ ，对于任意 $n \in N^{*}, 2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 3$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 4 n - 1$ C、 $S_{n} = n^{2}$ D、实数 $λ$ 的取值范围为 $[\frac{9}{8}, + \infty)$

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6、某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 $x$ （元）
40
50
60
70
80
90
销量 $y$ （件）
50
44
43
$m$
35
28
由表中数据，求得线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.4 x + 66$ ，则下列说法正确的是（）

A、产品的销量与单价成负相关 B、为了获得最大的销售额（销售额 $=$ 单价 $\times$ 销量 $)$ ，单价应定为70元或80元 C、 $m = 40$ D、若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为 $\frac{1}{3}$

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7、函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + 1$ 与 $g (x) = x^{a}$ 在同一直角坐标系中的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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8、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 0), x_{1} < x_{2}, \frac{x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} < a$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $- \frac{2}{e^{2}}$ D、 $- \frac{2}{e}$

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9、已知 $a = \frac{3}{2}, 3^{b} = 6, c = {log}_{5} 8$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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10、已知甲同学从学校的4个科技类社团，3个艺术类社团，2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、过点 $P (- 1, 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、4 D、2

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12、如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）

A、对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B、函数 $f (x) = tan x$ 可以是某个圆的“太极函数” C、函数 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 可以是某个圆的“太极函数” D、 $y = f (x)$ 是“太极函数”的充要条件为“ $y = f (x)$ 的图象是中心对称图形”

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13、设随机变量 $X \sim B (4, \frac{1}{4})$ ，则 $D (4 X + 1) =$ （）

A、3 B、4 C、12 D、13

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14、函数 $y = \sqrt{3} e^{x} + 1$ 的图象在点 $(0, 1 + \sqrt{3})$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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15、已知集合 $S = {x ∣ - 4 < x \leq 1}, T = {x ∣ - 1 < x < 3}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 ${x ∣ - 1 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 4 < x < 3}$ D、 ${x ∣ - 1 < x < 4}$

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16、已知函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中 $\vec{a} = (sin (π - x), cos (2 x - 3 π))$ ， $\vec{b} = (sin (\frac{π}{2} - x), \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递减区间；

(3)、已知函数 $g (x) = 2 f^{2} (x) - 3 f (x) + 2 m - 1$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上存在零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、如左图所示，在直角梯形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边 $A D$ 上一点E满足 $D E = 1$ .现将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，如右图所示.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求 $A_{1} D$ 与面 $B C D E$ 所成的角；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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18、为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学高一全体学生参加了《二十大知识竞赛》.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一选物理方向、历史方向的学生人数分别为180、120.现用分层抽样的方法抽取了30名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.

(1)、根据样本频率分布直方图，计算图中 $a$ 的值，并估计该校全体学生成绩的平均数和第71百分位数；

(2)、已知所抽取选物理方向和历史方向学生答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为140，求高一年级选物理方向学生成绩的平均数 $\bar{x_{1}}$ 和高一年级选历史方向学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .
选科方向
样本平均数
样本方差
物理方向
$\bar{x_{1}}$
75
历史方向
60
$s_{2}^{2}$

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19、已知：如图，三角形 $A B C$ 为正三角形， $A E$ 和 $C D$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $A E = A B = 2 C D = 2$ ， $F$ 为 $B E$ 的中点．

(1)、证明： $D F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点B到平面 $A D F$ 的距离．

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20、记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C = \sqrt{2} \cos B$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2} a b$

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，求c．

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单价 $x$ （元）	40	50	60	70	80	90
销量 $y$ （件）	50	44	43	$m$	35	28

选科方向	样本平均数	样本方差
物理方向	$\bar{x_{1}}$	75
历史方向	60	$s_{2}^{2}$