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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $P A = P C = 4$ .

(1)、求证： $P B ⊥ A C$ ；

(2)、若平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，在线段 $P B$ （包含端点）上是否存在一点E，使得平面 $P A B ⊥$ 平面 $A C E$ ，若存在，求出 $P E$ 的长，若不存在，请说明理由.

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2、临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.

(1)、应从A，B，C三种水果各抽多少箱?

(2)、若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.
①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；
②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列，且满足 $S_{1} = 8$ ， $\frac{S_{4}}{4} = 5$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = |a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{n}|$ ，求 $T_{n}$ .

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4、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且 $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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5、已知 $O$ 为坐标原点，F为抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $P (2, 0)$ 的直线 $l$ 交C于A、B两点，直线 $A F$ 、 $B F$ 分别交C于M、N，则 $|A M| + |B N|$ 的最小值为

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6、卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为 $a$ ，高为 $\frac{2}{3} a$ ，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是.

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 3) x + 3 a \ln x + 2$ 在 $[4, 6)$ 上存在极值点，则正整数 $a$ 的值是

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8、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含 $x^{2}$ 的项的系数为.

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9、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一动点 $P (x_{0}, y_{0})$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线的左、右焦点，点 $G (x, y)$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心，连接 $P G$ 交 $x$ 轴于点 $M (m, 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $x_{0} > a$ 时，点 $(a, 0)$ 在 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆上 B、 $m x_{0} = a^{2}$ C、 $G (\pm a, \frac{y_{0}}{a + x_{0}})$ D、当 $x_{0} < - a$ 时， $x = - a (- b < y < b)$

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 50$ ， $S_{7} = 35$ ，则（）

A、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 为等比数列 B、 $S_{9} = 0$ C、当且仅当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 D、 $S_{1} + \frac{S_{2}}{2} + \frac{S_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{S_{n}}{n} = \frac{- 5 n^{2} + 75 n}{4}$

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11、已知直线m，n为异面直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ ，则下列线面关系可能成立的是（）

A、 $m ⊥ n$ B、 $m ⊥$ 平面 $β$ C、平面 $α / /$ 平面 $β$ D、平面 $α ⊥$ 平面 $β$

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12、已知 $a \in R$ ，关于x的一元二次不等式 $(a x - 2) (x + 2) > 0$ 的解集可能是（）

A、 $\{x |x > \frac{2}{a}$ 或 $x < - 2\}$ B、 $\{x |x > - 2\}$ C、 $\{x |- 2 < x < \frac{2}{a}\}$ D、 $\{x |\frac{2}{a} < x < - 2\}$

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13、若对任意实数 $x \geq 0$ ，恒有 $2 (e^{x} + 2 m x) + 8 \geq x^{2} + 4 m^{2}$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{\sqrt{10}}{2}, 2]$ B、 $[- \frac{\sqrt{10}}{2}, \ln 2 - 2]$ C、 $[\ln 2 - 2, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $[- 2, \frac{\sqrt{10}}{2}]$

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14、已知x为正实数，y为非负实数，且 $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{x^{2} + 1}{x} + \frac{2 y^{2}}{y + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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15、直线 $m x - n y + m - n = 0$ 交曲线 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 24 = 0$ 于点A，B，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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16、已知命题 $p$ ：函数 $f (x) = 2 x^{3} + x - a$ 在 $(1, 2]$ 内有零点，则命题 $p$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $3 \leq a < 18$ B、 $3 < a < 18$ C、 $a < 18$ D、 $a \geq 3$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (10 \sin θ, 1)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ 或 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ 或 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ 或3 D、 $- \frac{1}{3}$ 或3

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18、函数 $y = \ln (x^{2} - 2 x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(2, + \infty)$

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19、已知集合 $A = {x | x < 2$ 或 $x > 3}$ ， $B = \{x |2^{2 x - 5} > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[\frac{5}{2}, 3)$ B、 $(2, \frac{5}{2}]$ C、 $(\frac{5}{2}, 3]$ D、 $[2, \frac{5}{2}]$

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20、已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

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