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相关试卷

1、如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有 $R_{1}, R_{2}$ 两个易堵点， $R_{1}$ 处出现堵车的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且当 $R_{1}$ 出现堵车时， $R_{2}$ 出现堵车的概率为 $\frac{2}{3}$ ；当 $R_{1}$ 不堵车时， $R_{2}$ 出现堵车的概率为 $\frac{1}{4}$ ；主干道Ⅱ有 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；

(2)、若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；

(3)、已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - x - a \ln x, a > 0$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上为单调函数，求a的取值范围．

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3、某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
单价x/元
180
190
200
210
220
月销量y/个
57
52
42
32
27

(1)、根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)、若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 201000, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 41200$ ．

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, - \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且相邻两个零点的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求ω和φ的值；

(2)、若 $α \in (0, π)$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos (α + \frac{3 π}{2})$ 的值．

(3)、若 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，使得关于x的不等式 $f (x) \leq m$ 成立，求实数m的取值范围．

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5、摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为 $1 (rad/s)$ ，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间 $t (s)$ 的函数表达式 $x_{t} =$ ；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式 $y_{t} =$ ．

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6、写出在 $x = 0$ 处的切线方程为 $y = 2 x + 1$ 的一个二次函数 $g (x) =$ ．

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7、已知离散型随机变量 $ξ$ 的分布列如下表，则均值 $E (ξ) =$ ．
$ξ$
1
0
-1
P
0.5
0.3
q

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8、已知函数 $f (x, y) = {(2 x + 6 - \sin y)}^{2} + {(x - \cos y)}^{2}$ ，当且仅当 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ ， $f (x, y)$ 取得最小值，则下列说法正确的有（）

A、 $g (y) = f (0, y)$ 的最大值为37 B、 $h (x) = f (x, 0)$ 的最小值为 $\frac{64}{5}$ C、 $F (x) = f (x, y_{0})$ 在 $x = x_{0}$ 处导数等于0 D、当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4

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9、某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
a
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

A、可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多 B、用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关 D、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关

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10、某地生产的甲、乙两类水果的质量 $X, Y$ （单位：kg）分别服从正态分布 $N (λ, σ_{1}^{2})$ ， $N (μ, σ_{2}^{2})$ ，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $λ < μ$ B、 $σ_{1} > σ_{2}$ C、 $P (X \geq x_{0}) > P (Y \geq x_{0})$ D、 $P (X \geq x_{0}) < P (Y \geq x_{0})$

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11、已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、若制作一个容积为 $32 ({cm}^{3})$ 的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（）（ $cm$ ）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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13、 $\frac{1}{\sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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14、 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{3}$ 展开式中的常数项为（）

A、6 B、18 C、 $- 6$ D、 $- 18$

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15、小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，在罚球点处投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（）

A、 $\frac{10}{27}$ B、 $\frac{17}{27}$ C、 $\frac{23}{27}$ D、 $\frac{8}{9}$

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16、若 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x > y$ ”是“ $x^{2} > y^{2}$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充分必要

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17、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $\sin x + \cos x < \frac{3}{2}$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $\sin x + \cos x > \frac{3}{2}$ B、 $\forall x \in R$ ， $\sin x + \cos x \geq \frac{3}{2}$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} + \cos x_{0} < \frac{3}{2}$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} + \cos x_{0} \geq \frac{3}{2}$

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18、已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = \{x | x^{2} > 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, 2\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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19、已知函数 $f (x) = x - \ln x + \frac{e^{x}}{x}$ .

(1)、讨论函数的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = a$ 有两个解 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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20、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ 交于M，N两点，直线 $M N$ 过该圆圆心，且斜率为 $- 1$ ，点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆右焦点的直线 $l$ 交椭圆于D、E两点，记直线 $A D$ ， $B E$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、若 $a = \sqrt{6}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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单价x/元	180	190	200	210	220
月销量y/个	57	52	42	32	27

$ξ$	1	0	-1
P	0.5	0.3	q

a	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828