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相关试卷

1、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (m + 1)$ ，则 $f (\frac{1}{m}) =$ （）

A、12 B、16. C、2 D、6

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2、下列函数中与函数 $y = x$ 相等的函数是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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3、命题“ $\exists a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 是奇函数”的否定是（）

A、 $\forall a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 是偶函数 B、 $\forall a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 不是奇函数 C、 $\exists a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 是偶函数 D、 $\exists a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{2} - a x$ 不是奇函数

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4、已知集合 $M$ 满足 $\{1, 2\} \subseteq M \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，这样的集合 $M$ 有（）个

A、6 B、7 C、8 D、9

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为矩形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, M$ 是棱 $P D$ 的中点， $A D = 2$ .

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若二面角 $M - B C - D$ 为 $\frac{π}{6}$ ，求异面直线 $A B$ 与 $P C$ 所成角的正切值.

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6、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (cos C, 2 {cos}^{2} \frac{B}{2} - 1), \vec{n} = (b, c - 4 a)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0, D$ 为边 $A C$ 上一点， $B D = 2 \sqrt{5}$ ，且 $C D = 2 A D$ .

(1)、求 $cos ∠ A B C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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7、已知 $m > 0, n > 0$ ，如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M, N$ 满足 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}, D$ 在线段BC上且 $\vec{B C} = 4 \vec{B D}$ ，点 $E$ 是AD与MN的交点， $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ .

(1)、分别用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 来表示 $\vec{A D}$ 和 $\vec{A E}$

(2)、求 $m + 2 n$ 的最小值

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = 2$ ，点E为线段PD的中点.

(1)、求证： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、求三棱锥 $A - P C E$ 的体积

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9、在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ， 60分以下视为不及格.观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、求分数 $[70, 80)$ 内的频率，并计算本次竞赛中不及格考生的人数；

(2)、从频率分布直方图中，分别估计本次竞赛成绩的众数和中位数.

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10、已知函数 $y = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3})$ ( $ω > 0$ )在区间 $(\frac{π}{3}, π)$ 上有且仅有一个零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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11、从某果树上随机摘下11个水果，其直径为 $12, 13, 14, 14, 16, 20, 20, 21, 22, 23, 25$ （单位： $cm)$ ，则这组数据的第六十百分位数为.

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12、若 $3^{a} = 12, b = {log}_{4} 12$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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13、如图，在正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，点P在线段BC₁上运动时，下列命题正确的是（）

A、三棱锥A−D₁PC的体积不变 B、直线CP与直线AD₁的所成角的取值范围为 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变 D、二面角P−AD₁−C的大小不变

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14、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边，则下列叙述正确的是（）

A、若 $b \cos C + c \cos B = b$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形． B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形且外心为 $P, A \vec{P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ 且 $x + 2 y = 1$ ，则 $a = c$ ． C、若 $a = 2, b = 3, ∠ A = 30^{°}$ ，则解此三角形的结果有一解． D、“ $△ A B C$ 为锐角三角形”是“ $\sin A > \cos B$ ”的充分不必要条件．

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15、下列命题为真命题的是（）

A、复数 $2 - 2 i$ 对应的点在第二象限 B、若 $i$ 为虚数单位，则 $i^{2023} = - i$ C、在复数集 $C$ 中，方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的两个解分别为 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 和 $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、复平面内满足条件 $|z + i| \leq 2$ 的复数z所对应的点Z的集合是以点 $(0, 1)$ 为圆心，2为半径的圆

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c cos A + a cos C = 6$ ， $A C$ 边上的高为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $∠ A B C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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17、已知圆锥的轴截面为 $△ P A B, P$ 为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为 $12 π$ ，若 $∠ A P B = 60 °$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $9 \sqrt{3} π$ B、 $12 \sqrt{3} π$ C、 $18 \sqrt{3} π$ D、 $27 \sqrt{3} π$

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18、函数 $y = \sin x \cos x + \sqrt{3} \cos^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期等于（）

A、π B、 $2 π$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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19、已知函数 $f (x) = 2 - \log_{2} x$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 1 \\ f (x) - 1, x > 1 \end{array}$ .

(1)、求 $g (x)$ 的最大值；

(2)、若对任意 $x_{1} \in [4, 16]$ ， $x_{2} \in R$ ，不等式 $f (2^{k} x_{1}) \cdot f (x_{1}^{2}) > g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (\frac{α}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{10}{13}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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