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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为 $B C$ 的中点，E为 $A D$ 的中点，延长 $B E$ 交 $A C$ 于点F，若 $b = 2, 4 \sin A \sin C = 3 \sqrt{3} \sin B$ ，则 $△ A E F$ 的面积为.

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2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点 $P$ 在对角线 $B D_{1}$ 上，过 $P$ 作垂直于 $B D_{1}$ 的平面 $α$ ，记平面 $α$ 与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面多边形（含三角形）的周长为 $L$ ，面积为 $S$ ， $B P = x, x \in (0, \sqrt{3})$ ，下面关于函数 $L (x)$ 和 $S (x)$ 的描述正确的是（）

A、 $S (x)$ 最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ； B、 $L (x)$ 在 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时取得极大值； C、 $L (x)$ 在 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 上单调递增，在 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$ 上单调递减； D、 $S (x)$ 在 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 上单调递增，在 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3})$ 上单调递减

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3、欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （i为虚数单位， $x \in R$ ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $e^{πi} = - 1$ C、 $|e^{xi}| = | \cos x | + | \sin x |$ D、 $e^{\frac{π}{2} i}$ 的共轭复数为 $- i$

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4、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的图象与 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值等于（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5、在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，每场比赛的结果相互独立.

(1)、求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；

(2)、已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.

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6、某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位： $kW \cdot h$ ），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若去年小明家的月均用电量为 $234 kW \cdot h$ ，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？

(3)、通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）

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7、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点，二面角 $D - P N - C$ 的正切值为2.

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、证明： $D M ⊥ P C$

(3)、求直线 $P M$ 与平面 $P N C$ 所成角的正弦值.

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8、（1）请利用已经学过的方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 来证明方差第二公式 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ ；
（2）如果事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $A$ 与 $\bar{B}$ 相互独立吗？请给予证明.

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9、若一组样本数据 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n}$ 的平均数为10，另一组样本数据 $2 x_{1} + 4, 2 x_{2} + 4, \dots, 2 x_{n} + 4$ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.

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10、平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD $= \sqrt{2}$ ， BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A^'﹣BCD，使平面A^'BD⊥平面BCD，若四面体A^'﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积.

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11、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为．

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12、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 $2 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、勒洛四面体被平面 $A B C$ 截得的截面面积是 $2 (π - \sqrt{3})$ C、勒洛四面体表面上交线 $A C$ 的长度为 $\frac{2 π}{3}$ D、勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

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13、在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，极差为5；
乙地：总体平均数为2，众数为2；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丁地：总体平均数为2，总体方差为3.
则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）

A、甲地 B、乙地 C、丙地 D、丁地

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14、某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）

A、丁险种参保人数超过五成 B、41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C、18－29周岁人群参保的总费用最少 D、人均参保费用不超过5000元

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{e}$ ，且 $|\vec{e}| = 1$ ， $|\vec{a}| = 2$ .已知向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{e}$ 所成的角为60°，且 $|\vec{b} - t \vec{e}| \geq |\vec{b} - \vec{e}|$ 对任意实数 $t$ 恒成立，则 $|\vec{a} + \vec{e}| + |\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D, F B ∥ E D, A B = E D = 2 F B$ ，记三棱锥 $E - A C D, F - A B C, F - A C E$ 的体积分别为 $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ ，则（）

A、 $V_{3} = 2 V_{2}$ B、 $V_{3} = V_{1}$ C、 $V_{3} = 3 V_{1} - V_{2}$ D、 $2 V_{3} = 3 V_{1}$

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17、一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则 $x =$ （）．

A、58或64 B、58 C、59或64 D、59

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18、下列说法正确的是（）

A、互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则事件A与事件B是对立事件 C、从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 $\frac{2}{5}$ D、事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大

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19、已知向量 $\vec{A B} = (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{B C} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、30° B、150° C、60° D、120°

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20、某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为 $b$ ，则（）

A、 $b = \frac{1}{9}$ B、 $b = \frac{2}{9}$ C、 $b = \frac{3}{10}$ D、 $b = \frac{1}{10}$

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