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相关试卷

1、如图甲，在直角边长为 $4$ 的等腰直角三角形 $A B C$ 中， $D E // B C$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，连接 $P B$ 、 $P C$ ，得到如图乙所示的四棱锥 $P - B D E C$ ， $M$ 为线段 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D E ⊥ P M$ ；

(2)、当翻折到平面 $P D E ⊥$ 平面 $B D E C$ 时，求平面 $P D E$ 与平面 $P D B$ 的夹角的余弦值．

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2、在平面直角坐标系中，已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l : (3 m + 1) x + (1 - m) y - 4 = 0$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 与圆 $C$ 总有两个不同的交点；

(2)、在① $\overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B} = 0$ ， ② $|\overset{⃑}{A B}|$ 最小，③过A，B两点分别作圆 $C$ 的切线，切线交于点 $P (2, 2)$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解；
设圆 $C$ 的圆心为 $C$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，当__________时，求直线 $l$ 的方程．

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3、已知光线经过点 $M (2, 3)$ ，在直线 $l : x + y + 1 = 0$ 上反射，且反射光线经过点 $N (1, 1)$ ，求：

(1)、入射光线与直线l的交点．

(2)、入射光线与反射光线所在直线的方程．

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4、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点和右焦点，过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限）， $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $r_{1} = 3 r_{2}$ ，则直线l的斜率为．

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5、某班级从A，B，C，D，E这5位学生中任选2人参加学校组织的“亚运有我，爱答未来”的亚运知识竞赛活动，则学生A被选中，学生B没被选中的概率为．

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6、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - \sqrt{3} k)}^{2} = 4$ ，则（）

A、无论k取何值，圆心 $C_{k}$ 始终在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上 B、若圆O与圆 $C_{k}$ 有公共点，则实数k的取值范围为 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、若圆O与圆 $C_{k}$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则 $k = \pm 1$ 或 $k = \pm \frac{3}{4}$ D、与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当 $k = \pm \frac{3}{2}$ 时，两圆的外公切线长为 $2 \sqrt{2}$

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7、设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）

A、 $k_{A B} \cdot k_{O M} = - 1$ B、若 $M (1, 1)$ ，则直线l的方程为 $2 x + y - 3 = 0$ C、若直线l的方程为 $y = x + 2$ ，则 $M (\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ D、若直线l的方程为 $y = x + 2$ ，则 $|A B| = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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8、已知事件A，B，且 $P (A) = 0.5, P (B) = 0.2, P (C) = 0.15$ ，则下列结论正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.5, P (A B) = 0.2$ B、如果A与B互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.7, P (A B) = 0$ C、如果A与B相互独立，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.9$ D、如果A、B与C两两互斥，那么 $P (A \cup B \cup C) = 0.85$

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点和上顶点分别为点 $F (c, 0) (b > c)$ 和点A，直线 $l : \sqrt{2} x - y - 4 = 0$ 交椭圆于P，Q两点，若F恰好为 $△ A P Q$ 的重心，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， O为坐标原点，过 $F_{1}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且 $|D F_{2}| = \sqrt{7} |O D|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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11、某中学高二学生500人，其中男生300人，女生200人﹐现获得全体学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层抽样方法，抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为 $171cm$ ，方差为 ${29cm}^{2}$ ；女生身高样本均值为 $161cm$ ，方差为 ${19cm}^{2}$ ，下列说法中不正确的是（）

A、男生样本容量为30 B、每个男生被抽入到样本的概率均为 $\frac{1}{10}$ C、所有样本的均值为 $167cm$ D、所有样本的方差为 ${45cm}^{2}$

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12、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} x$

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13、直线 $l_{1} : a x + y - 1 = 0, l_{2} : (a - 2) x - a y + 1 = 0$ ，则“ $a = - 2$ ”是“ $l_{1} // l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分也不必要

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14、直线 $3 x + \sqrt{3} y - 6 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、已知函数 $f (x) = e^{2 a x} - 3 \ln x$ ，若 $f (x) > x^{3} - 2 a x$ 恒成立，则实数a的取值范围为

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16、设集合 $P = \{x |- 2 < x < 3\}$ ， $Q = \{x |3 a < x \leq a + 1\}$ .

(1)、若 $Q \neq \emptyset$ 且 $Q \subseteq P$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $P \cap Q = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、集合 $A = {x \in N ∣ - 1 < x < 4}$ 的子集个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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18、已知 $x$ ， $y$ 均为正实数，且 $x + y = 16$ ，则 $\frac{x y}{9 x + y}$ 的最大值为.

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19、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(3, \frac{1}{9})$ ，求 $f (- 3) =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{a x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有两个不同的根 $x_{1}, x_{2}$ ．
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2$ ．

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