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相关试卷

1、已知点 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $\vec{A B} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{A D} = (0, 1, 3)$ ， $\vec{A P} = (2, 1, 0)$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $A P ⊥ A B$ B、存在实数 $λ$ ，使 $\vec{A P} = λ \vec{B D}$ C、 $\vec{A P}$ 不是平面 $A B C D$ 的法向量 D、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{26}$

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2、从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（）

A、“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C、“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D、“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件

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3、在空间直角坐标系中，已知 $A (1, 1, - 1), B (1, 2, 2), C (- 3, 4, 2)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

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4、已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的 $\frac{3}{4}$ 倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90 °, D_{1}, F_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B D_{1}$ 与 $A F_{1}$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

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6、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{A C} = \vec{a} ， \vec{A B} = \vec{b} ， \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B C_{1}} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

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7、已知随机事件 $A$ 和 $B$ 互斥， $A$ 和 $C$ 对立，且 $P (C) = 0.8, P (B) = 0.3$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

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8、点 $P (- 3, 8, - 5)$ 关于平面 $x O y$ 对称的点的坐标是（）

A、 $(3, - 8, - 5)$ B、 $(- 3, 8, 5)$ C、 $(3, 8, 5)$ D、 $(- 3, - 8, 5)$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 0, 1)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$

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10、空间中两点间的距离公式为.

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11、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，我们有 $P (A \cup B) =$ .

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12、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D ∥ B C, A D = 2 B C = 4$ ，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, O, M$ 分别为 $A D, P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B ∥$ 平面 $O M C$ ．

(2)、若 $C D = 2, P A = P D = 4$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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14、直线l的方向向量为 $\vec{n} = (1, 1, - 1)$ ，且l过点 $A (- 1, 1, 1)$ ，则点 $P (0, 1, - 1)$ 到直线l的距离为.

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15、已知直线 $l_{1} : \sqrt{3} x - y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，则直线 $l_{2}$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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16、已知 $A (- 2, 1, 3), B (1, - 1, 4)$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(3, 0, 1)$ B、 $(- 1, - 2, 1)$ C、 $(- 1, 0, 7)$ D、 $(3, - 2, 1)$

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{C F} = 2 \vec{F D}$ .

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值；

(2)、若 $| \vec{A B} | = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ .

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18、已知a， $b \in R$ ，有一组样本数据为 $2 + a$ ， 3， $6 - b$ ， $7 - a$ ， 8，10， $11 + b$ ， 12，13，若在这组数据中再插入一个数8，则（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、方差不变 D、极差不变

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19、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 x - 8 < 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < b\}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $x > 0$ ， $y > - 2$ ，且 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y + 2} = 4$ ，求 $x + 2 y$ 的最小值.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - a x, x > 0 \\ - x^{2} + (a - 4) x + 4 a, x \leq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 4, + \infty)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e^{2}]$ B、 $(- \infty, e]$ C、 $[0, e^{2}]$ D、 $[0, e]$

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